Hyper-volume du contour d'un gaussien multivarié

Je cherche la valeur asymptotique ( ) de (le log du déterminant de) la covariance du % d'observations avec la plus petite distance euclédienne à l'origine dans un échantillon de taille tiré de, disons , un gaussien standard bivarié. $n\rightarrow \infty$ $\alpha$ $n$

- L'hyper-volume d'une ellipse est proportionnel au déterminant de sa matrice de covariance, d'où le titre .--

--Par Gaussien bivarié standard, je veux dire où est un vecteur de 0 de longueur 2 et est la matrice d'identité de rang 2 .--- $\mathcal{N}_2(0_2,\pmb I_2)$ $0_2$ $\pmb I_2$

Il est facile de voir par des simulations que lorsque le nombre est d'environ : $\alpha=52/70$ $\approx -1.28$

library(MASS)
n<-10000
p<-2
x<-mvrnorm(n,rep(0,p),diag(2))
h<-ceiling(0.714286*n)
p<-ncol(x)
w<-mahalanobis(x,rep(0,p),diag(p),inverted=TRUE) #These are eucledian distances, because the covariance used is the identity matrix
s<-(1:n)[order(w)][1:h]
log(det(cov(x[s,])))

mais je ne me souviens pas comment obtenir une expression exacte (ou à défaut, une meilleure approximation) pour cela.

r mathematical-statistics simulation user603
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Dans votre texte, vous ne dites rien des paramètres de la distribution bivariée. En outre, il semble que votre code concerne Mahalanobis d, pas Euclidean d.

ttnphns

Par gaussien standard, je veux dire celui centré à l'origine et avec la covariance d'identité (je vais l'éditer dans). Distance de Mahalanobis par rapport à la matrice de covariance d'identité == distances euclédiennes.

user603

Si vous utilisez du code ou cherchez de l'aide avec le code, veuillez indiquer la langue ou le programme que vous utilisez.

wolfies

Réponses:

Ok, cette question semble se poser de temps en temps, donc je pense que je vais donner une réponse générale.

Dans [1], les auteurs montrent que si with symmetric positive definite, and $\pmb x_i\sim \mathcal{N}_p(\pmb \mu,\pmb \varSigma),i=1,\ldots,n$ $\varSigma$ $S_{\alpha}$

\begin{matrix} (0) & S_{α} = {i : (x x_{i} - μ μ)^{'} Σ^{- 1} (x x_{i} - μ μ) ⩽ q_{α}} \end{matrix}

$S_{\alpha}=\{i: (\pmb x_i-\pmb\mu)'\varSigma^{-1}(\pmb x_i-\pmb\mu)\leqslant q_{\alpha}\}\label{a}\tag{0}$

pour et $q_{\alpha}=\chi^2_{p}(\alpha),\;0<\alpha\leqslant 1$

\begin{matrix} (1) & C_{α} = {cov}_{i \in S_{α}} x x_{i} \end{matrix}

$C_{\alpha}=\mbox{cov}_{i\in S_{\alpha}}\pmb x_i\label{b}\tag{1}$

Ensuite, asymptotiquement, converge vers où $C_{\alpha}$ $l_{\alpha}\varSigma$

\begin{matrix} (2) & l_{α} = \frac{F_{χ_{p + 2}^{2} (q_{α})}}{α} \end{matrix}

$l_{\alpha}=\frac{ F_{\chi^2_{p+2}(q_{\alpha})} }{\alpha}\label{c}\tag{2}$

Cette approximation est vraiment bonne (ici pour alpha = 60/70):

library(MASS)
alpha<-60/70
p<-2
n<-1000000

radius<-sqrt(qchisq(alpha,df=p))
x0<-mvrnorm(n,rep(0,p),diag(p),empirical=TRUE)
Id<-which(rowSums(x0*x0)<=radius**2)
cov(x0[Id,])

qalpa<-qchisq(alpha,p)
diag(1/(alpha/(pchisq(qalpa,p+2))),p)

Donc, enfin, pour répondre à la question, le déterminant de la matrice de covariance des observations avec la plus petite norme euclédienne à l'origine (c'est le cas particulier où et ) est donné par: $\log$ $[\alpha n]$ $\varSigma=\pmb I_p$ $\pmb \mu=\pmb 0_p$

\begin{matrix} (3) & p \log F_{χ_{p + 2}^{2} (q_{α})} - p \log α \end{matrix}

$p\log F_{\chi^2_{p+2}(q_{\alpha})}-p\log\alpha\label{d}\tag{3}$

Croux C., Haesbroeck G. (1999). Influence la fonction et l'efficacité de l'estimateur à matrice de diffusion du déterminant de covariance minimale. Journal of Multivariate Analysis. 71. 161--190.

user603
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