Pour un projet de recherche, je dois trouver la valeur attendue du quotient de Rayleigh généralisé: Ici A et B sont des matrices de covariance p x p déterministes définies positives , et w suit une distribution multivariée avec des lignes d'altitude circulaires (par exemple, la norme standard multivariée). La dimension p est supérieure à 100.
Ce problème est facile à résoudre en utilisant la simulation; cependant, je me demandais si quelqu'un pouvait savoir comment ce problème pouvait être résolu (ou approximé) analytiquement. Ma première idée était que, selon le théorème de la limite centrale de Lindeberg ou de Lyapunov, le numérateur et le dénominateur sont distribués approximativement normalement, ce qui nous donne un rapport de deux variables aléatoires normales (corrélées), mais la simulation montre que ce n'est pas le cas.
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Réponses:
En cas de distribution normale, une solution peut être trouvée dans Mathai et Provost, Formes quadratiques à variables aléatoires (1992). Les moments inverses et produits de ces formes quadratiques y sont dérivés de la fonction de génération de moment.
Les formes quadratiques dans les distributions elliptiques et leurs moments sont traités dans Mathai, Provost et Hayakawa, les formes bilinéaires et les polynômes zonaux (1995), mais pas dans la même mesure que dans le cas normal. Comme les distributions elliptiques sont généralement définies en fonction de leur fonction caractéristique , cette fonction apparaîtra dans la solution si l'on choisit l'approche mgf. Pourtant, il n'a jamais été calculé, afaik.eitμξ(t′Σt) ξ
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