Distribution marginale de la diagonale d'une matrice distribuée de Wishart inverse

Supposons que . Je m'intéresse à la distribution marginale des éléments diagonaux . Il existe quelques résultats simples sur la distribution des sous-matrices de (au moins certaines répertoriées sur Wikipedia). À partir de cela, je peux comprendre que la distribution marginale de tout élément unique sur la diagonale est le Gamma inverse. Mais je n'ai pas pu déduire la distribution conjointe. $X\sim \operatorname{InvWishart}(\nu, \Sigma_0)$ $\operatorname{diag}(X) = (x_{11}, \dots, x_{pp})$ $X$

Je pensais que cela pourrait être dérivé de la composition, comme:

p (X_{11} | X_{je je}, je > 1) p (X_{22} | X_{je je}, je > 2) \dots p (X_{(p - 1) (p - 1)} | X_{p p}) p (X_{p p}),

$p(x_{11} | x_{ii}, i\gt 1)p(x_{22}|x_{ii}, i>2)\dots p(x_{(p-1)(p-1)}|x_{pp})p(x_{pp}),$

mais je ne suis jamais allé avec et je soupçonne en outre que je manque quelque chose de simple; il semble que ce «devrait» être connu mais je n'ai pas pu le trouver / le montrer.

distributions probability pdf JMS
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La proposition 7.9 de Bilodeau et Brenner (le pdf est disponible gratuitement sur le web) donne un résultat prometteur pour le Wishart (peut-être est-il reporté pour le Wishart inverse). Si vous partitionnez

X

$X$ en blocs comme

X_{11}, X_{12}; X_{21}, X_{22}

$X_{11},X_{12};X_{21},X_{22}$ , alors

X_{22}

$X_{22}$ est Wishart, tout comme

X_{11} - X_{12} X_{22}^{- 1} X_{21}

$X_{11} - X_{12}X_{22}^{-1}X_{21}$ , et ils sont indépendants.

shabbychef

Cette proposition ne s'applique que si vous connaissez toute la matrice: si vous n'avez que la diagonale, alors vous ne savez pas par exemple

X_{12}

$X_{12}$ , donc vous ne pouvez pas faire la transformation.

petrelharp

Réponses:

En général, on peut décomposer une matrice de covariance quelconque en une décomposition de corrélation de variance comme Ici est la matrice de corrélation avec les diagonales unitaires . Ainsi, les entrées diagonales de font maintenant partie d'une matrice diagonale de variances . Puisque les entrées hors diagonale de la matrice de variance sont nulles , la distribution conjointe que vous recherchez n'est que le produit des distributions marginales de chaque entrée diagonale.

Σ = diag (Σ) Q diag (Σ)^{⊤} = D Q D^{⊤}

$\Sigma = \text{diag}(\Sigma) \ Q \ \text{diag}(\Sigma)^\top = D\ Q \ D^\top$

Q

$Q$

q_{i i} = 1

$q_{ii} = 1$

Σ

$\Sigma$

D = [D]_{i i} = [Σ]_{i i}

$D = [D]_{ii} = [\Sigma]_{ii}$

d_{i j} = 0, i \neq j

$d_{ij} = 0, \ i \ne j$

Considérons maintenant le modèle standard de Wishart inverse pour une matrice de covariance à dimensions $d$ $\Sigma$

Σ \sim I W (ν + d - 1, 2 ν Λ), ν > d - 1

$\Sigma \sim \mathcal{IW}(\nu +d -1, 2\nu \Lambda), \quad \nu > d-1$

Les éléments de sont distribués marginalement comme $\sigma_{ii} = [\Sigma]_{ii}$

σ_{je je} \sim inv- χ^{2} (ν + ré - 1, \frac{λ_{je je}}{ν - ré + 1})

$\sigma_{ii} \sim \text{inv-$\chi^2$}\left(\nu+d-1,\frac{\lambda_{ii}}{\nu -d + 1}\right)$

Une belle référence avec une variété de priors pour la matrice de covariance qui se décompose en différentes distributions de variance-corrélation est donnée ici

user3303
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