Limites de la dérivée d'une fonction limitée en bande limitée

Soit une fonction avec des propriétés: $f(t)$

\begin{array}{ll} t \in R & t is in reals \\ f (t) \in R for all t & f (t) is in reals \\ | f (t) | < A for all t & absolute value of f (t) is bounded above by A \\ \int_{- \infty}^{\infty} f (t) e^{- i ω t} d t = 0 for all | ω | \geq B & f (t) is band-limited by frequency B in radians \end{array}

$\begin{array}{ll} t\in\mathbf{R}&t\text{ is in reals}\\ f(t)\in\mathbf{R}\text{ for all } t&f(t)\text{ is in reals}\\ |f(t)|<A\text{ for all }t&\text{absolute value of }f(t)\text{ is bounded above by }A\\ \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \ e^{- i \omega t} \ {\rm d}t = 0\text{ for all }|\omega|\ge B&f(t)\text{ is band-limited by frequency B in radians} \end{array}$

Étant donné et quelle est la limite supérieure stricte pour la valeur absolue de la dérivée de la fonction? $A$ $B,$ $|f'(t)|,$

Rien d'autre ne doit être supposé au sujet de que ce qui a été indiqué ci-dessus. La borne devrait tenir compte de cette incertitude. $f(t)$

Pour une sinusoïde d'amplitude $A$ et fréquence $B,$ la valeur absolue maximale du dérivé est $AB.$ Je me demande si c'est une limite supérieure, et dans ce cas aussi la limite supérieure stricte. Ou peut-être qu'une fonction non sinusoïdale a une pente plus raide.

bandwidth derivative Olli Niemitalo
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Avez - vous vérifié ce ?

Tendero

@Tendero merci. Là, l'énergie du signal est connue, plutôt que la valeur absolue de crête comme dans ma question.

Olli Niemitalo

Voir ma réponse pour la limite que vous recherchez. Il dit Plus généralement, un résultat dû à Bernstein dit que si la fréquence maximale dans un générique

x (t)

$x(t)$ délimité à l'intérieur

[- 1, 1]

$[-1,1]$ est

f_{0}

$f_0$ , C'est,

X (f) = 0

$X(f) = 0$ pour

| f | > f_{0}

$|f| > f_0$ , puis

max | \frac{d x}{d t} | \leq 2 π f_{0} .

$\max \left| \frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\right| \leq 2\pi f_0.$

Dilip Sarwate

Sur la base de la version nette de l'inégalité de Bernstein, à partir des réponses liées de Dilip, de la réponse éditée de MBaz et de la littérature citée, est en effet la limite supérieure nette (je l'ai appelé serré signifiant la même chose) pour la valeur absolue maximale du dérivé, une pleine- échelle sinusoïdale exactement à la limite de la bande (non strictement autorisée par les contraintes que je donne) faisant de l'inégalité une égalité.

A B

$AB$

Olli Niemitalo

Réponses:

Vous serez intéressé par l'inégalité de Bernstein, dont j'ai entendu parler pour la première fois dans Lapidoth, A Foundation in Digital Communication (page 92).

Avec un signal bien élevé $f(t)$ comme vous l'avez défini ci-dessus (en particulier, est intégrable et limité en bande à et ), puis $f(t)$ $B\,\text{Hz}$ $\text{sup}\,|f(t)| = A$

| \frac{d f (t)}{d t} | \leq 2 A B π .

$\left|\frac{\text{d}f(t)}{\text{d}t}\right| \leq 2AB\pi.$

Notez que le résultat original de Bernstein a établi une limite de ; plus tard, cette limite a été resserrée à . $4AB\pi$ $2AB\pi$

J'ai passé un peu de temps à lire la «série trigonométrique» de Zygmund; tout ce que je dirai, c'est que c'est le remède parfait pour ceux qui ont l'impression de connaître la trigonométrie. Une compréhension complète de la preuve dépasse mes compétences mathématiques, mais je pense que je peux souligner les points principaux.

Premièrement, ce que Zygmund appelle l'inégalité de Bernstein est un résultat plus limité. Étant donné le polynôme trigonométrique (avec réel ), alorsavec une inégalité stricte, sauf si est un monôme .

T (x) = \sum_{- \infty}^{\infty} c_{k} e^{j k x}

$T(x) = \sum_{-\infty}^\infty c_k e^{jkx}$

x

$x$

max_{x} | T^{'} (x) | \leq n max_{x} | T (x) |

$\max_x |T'(x)| \leq n \max_x |T(x)|$

T

$T$

A \cos (n x + α)

$A \cos(nx+\alpha)$

Pour généraliser cela, nous avons besoin d'un résultat préliminaire. Considérons une fonction qui est dans et dans . ( est la classe de fonctions intégrales de type tout au plus - c'est l'un des endroits où mes mathématiques commencent à s'effilocher sur les bords. Ma compréhension est que c'est une manière mathématiquement rigoureuse de indiquant que a une bande passante .) $F$ $\text{E}^\pi$ $\text{L}^2$ $\text{E}^\sigma$ $\sigma$ $f=\text{IFT}\lbrace F \rbrace$ $\sigma$

Pour un tel nous avons la formule d'interpolation où est complexe et(Il s'agit du théorème 7.19.) $F$

F (z) = \frac{\sin (π z)}{π} F_{1} (z),

$F(z) = \frac{\sin(\pi z)}{\pi}F_1(z),$

z

$z$

F_{1} (z) = F^{'} (0) + \frac{F (0)}{π} + \sum_{n = - \infty}^{\infty}^{'} (- 1)^{n} F (n) (\frac{1}{z - n} + \frac{1}{n}) .

$F_1(z) = F'(0) + \frac{F(0)}{\pi} + \sum_{n=-\infty}^\infty {^\prime} (-1)^nF(n) \left( \frac{1}{z-n}+\frac{1}{n} \right).$

Nous pouvons maintenant énoncer le théorème principal. Si:

$F$ est dans avec $\text{E}^\sigma$ $\sigma>0$
$F$ est borné sur l'axe réel
$M=\sup |F(x)|$ pour de vrai $x$

alors avec égalité possible ssi pour arbitraire . On suppose que (sinon on prend au lieu de .)

| F^{'} (x) | \leq σ M

$|F'(x)| \leq \sigma M$

F (z) = a e^{j σ z} + b e - j σ x

$F(z) = a e^{j\sigma z} + b e{-j\sigma x}$

a, b

$a,b$

σ = π

$\sigma=\pi$

F (z π / σ)

$F(z\pi/\sigma)$

F (z)

$F(z)$

Pour le prouver, nous écrivons la dérivée de utilisant la formule d'interpolation ci-dessus:Avec nous obtenons ce qui implique $F$

F^{'} (x) = F_{1} (x) \cos (π x) + \frac{\sin (π x)}{π} \sum_{n = - \infty}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} F (n)}{(x - n)^{2}} .

$F'(x) = F_1(x)\cos(\pi x)+\frac{\sin(\pi x)}{\pi} \sum_{n=-\infty}^\infty \frac{(-1)^nF(n)}{(x-n)^2}.$

x = 1 / 2

$x=1/2$

F^{'} (1 / 2) = \frac{4}{π} \sum_{n = - \infty}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} F (n)}{(2 n - 1)^{2}}

$F'(1/2) = \frac{4}{\pi} \sum_{n=-\infty}^\infty \frac{(-1)^nF(n)}{(2n-1)^2}$

| F^{'} (1 / 2) | \leq \frac{4}{π} \sum_{n = - \infty}^{\infty} \frac{1}{(2 n - 1)^{2}} = \frac{4 M π^{2}}{4 π} = M π .

$|F'(1/2)| \leq \frac{4}{\pi} \sum_{n=-\infty}^\infty \frac{1}{(2n-1)^2} = \frac{4M\pi^2}{4\pi} = M\pi.$

Maintenant, nous avons besoin d'une petite astuce: prenez un arbitraire et définissez . Alors, $x_0$ $G(z) = F(x_0+z-1/2)$

| F^{'} (x_{0}) | = | G^{'} (1 / 2) | \leq M π .

$|F'(x_0)| = |G'(1/2)| \leq M\pi.$

(TODO: Montrez la preuve du cas d'égalité. Définissez .) $\sum \prime$

MBaz
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@OlliNiemitalo Comme indiqué dans la réponse de MattL, la sinusoïde

\sin (2 π B t)

$\sin(2\pi Bt)$ a une dérivée maximale

2 π B

$2\pi B$ . Cela correspond à la limite de Bernstein, comme indiqué dans ma réponse ici sur dsp.SE (cité dans un commentaire sur votre question) et dans ma réponse sur math.SE que vous avez trouvée, avec égalité.

Dilip Sarwate

@OlliNiemitalo J'ai trouvé la preuve donnée par Pinksy ici (j'espère que ce lien fonctionne!). Il utilise définitivement

4 A B π

$4AB\pi$ comme lié, pas

2 A B π

$2AB\pi$ .

MBaz

@MBaz Votre lien fonctionne vraiment! À la fin de la section 2.3.8, ils disent que la version la plus connue de l'inégalité de Bernstein a le facteur 2 au lieu de 4, ce qui est net, et que pour plus de détails, consulter Zygmund (1959) Vol. 2, p. 276. Je pense que c'est Zygmund, A. Série trigonométrique. 2e éd. Vol. II. Cambridge University Press, New York 1959.

Olli Niemitalo

RP Boas, Quelques théorèmes sur les transformées de Fourier et les intégrales trigonométriques conjuguées , Transactions de l'American Mathematical Society 40 (2), 287-308, 1936 cite les articles pertinents de Bernstein, Szegö et Zygmund, déjà avec la limite nette, pour autant que Je peux dire.

Olli Niemitalo

@OlliNiemitalo Excellent! J'avais manqué cette note à la fin de la section 2.3.8. Je mettrai à jour ma réponse. Aussi: ce livre de Zygmund est dans la bibliothèque de mon université, mais il n'est pas en ligne. Je vais le retirer demain et voir ce qu'il dit.

MBaz

En général, vous obtiendrez quelque chose comme ça, mais cela pourrait ne pas être serré:

\begin{aligned} | F^{'} (t) | & = | \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} j ω F (j ω) e^{- j ω t} ré ω | \\ \leq \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} | ω | | F (j ω) | ré ω \\ = \frac{1}{2 π} \int_{- ω_{c}}^{ω_{c}} | ω | | F (j ω) | ré ω \\ \leq \frac{| ω_{c} |}{2 π} \int_{- ω_{c}}^{ω_{c}} | F (j ω) | ré ω \\ (1) & = \frac{ω_{c}}{π} \int_{0}^{ω_{c}} | F (j ω) | ré ω \end{aligned}

$\begin{align}|f'(t)|&=\left|\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}j\omega F(j\omega)e^{-j\omega t}d\omega\right|\\&\le \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|\omega||F(j\omega)|d\omega\\&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\omega_c}^{\omega_c}|\omega||F(j\omega)|d\omega\\&\le \frac{|\omega_c|}{2\pi}\int_{-\omega_c}^{\omega_c}|F(j\omega)|d\omega\\&=\frac{\omega_c}{\pi}\int_{0}^{\omega_c}|F(j\omega)|d\omega\tag{1}\end{align}$

La limite supérieure sur $|f(t)|$ est bien sûr implicite dans $|F(j\omega)|$ .

Pour une sinusoïde $A\sin(\omega_ct)$ , $(1)$ donne $A\omega_c$ comme limite supérieure, comme prévu.

Matt L.
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@Olli Niemitalo, j'avais dérivé le cas sinusoïdal Je pense que c'est le cas général que nous examinions. Merci Matt L.

MimSaad