Quel est un bon exemple de processus ergodique?

J'essaie de trouver des exemples simples d'un processus ergodique. Quel processus vous vient à l'esprit comme une bonne illustration de ses propriétés?

Une recherche rapide ( Wikipedia , une autre réponse ) donne principalement des exemples de processus non ergodiques. Aussi, je me demande quels phénomènes du monde réel se prêtent à être modélisés comme un processus ergodique?

Supposons simplement que je vous donne une série de chiffres, et je vous dis qu'ils ont été choisis au hasard. Et tu sais que je n'essaye pas de te tromper. Les nombres sont: $3$ , $1$ , $4$ , $1$ , $5$ , $3$ , $2$ , $3$ , $4$ , $3$ .

Je vous propose maintenant de prédire le prochain, ou du moins, d'être le plus proche possible. Quel numéro choisiriez-vous?

[Pense]

[Calculer]

• Je parie que la plupart des lecteurs sont susceptibles de choisir un nombre compris entre $0$ et $6$ . En raison de la durée limitée.
• Peut-être un entier. Qui est susceptible de proposer $\pi$ (même en pensant aux premiers chiffres)?
• Peut-être $2$ , $3$ ou $4$ . Peut-être même $3$ .

Fondamentalement, vous supposez que j'ai fourni des chiffres avec une règle inconnue. Et peut-être, vous pouvez penser (ou faire l'hypothèse) que la série de nombres donnés, si elle est suffisamment longue, peut vous fournir une bonne compréhension des règles que j'ai en tête. Si vous le faites, vous émettez l'hypothèse que mon processus mental est ergodique:

un processus dans lequel chaque séquence ou échantillon important est également représentatif de l'ensemble (comme en ce qui concerne un paramètre statistique) ( Merriam-Webster )

Ici, il n'y a aucun moyen de s'assurer que ma série suit un processus ergodique. 3432 est le code PIN de ma carte, 3 une erreur (je voulais 6, mais je suis maladroit), 4, 3, 1 et 5 sont les premiers chiffres de $\pi$ que j'utilise assez souvent. Mon prochain "nombre" aurait été C (en hexadécimal). Je ne pense pas que ce processus soit ergodique. Chaque numéro provient de lois différentes. Mais honnêtement, je ne sais pas. Peut-être que je suis soumis à des forces d'ordre supérieur qui me conduisent selon les règles d'ergodicité.

L' ergodicité est donc l'hypothèse d'une sorte de «simplicité» dans les règles d'un processus. Comme la stationnarité ou la rareté. Lancez un dé régulier avec $6$ faces. Lancez une pièce normale. Si rien à l'extérieur n'essaie d'influencer le résultat (un être invisible qui attrape le dé et montre un visage de son choix), vous risquez de produire un processus ergodique.

Au lieu de pouvoir lancer un nombre infini de pièces, avec votre nombre infini de pouces, précisément à la même seconde, vous lancez une pièce chaque seconde, et vous pensez que le résultat final est à peu près le même.

Le mouvement brownien possède également des propriétés ergodiques.

De l'article de wikipedia:

un processus stochastique est dit ergodique si ses propriétés statistiques peuvent être déduites d'un seul échantillon aléatoire suffisamment long du processus.

En d'autres termes: les propriétés statistiques d'ensemble de temps sont les mêmes que les propriétés statistiques d'ensemble de réalisation.

Peut-être que nous devons prendre du recul et parler de ce qu'est un processus stochastique, pour commencer.

Imaginez que c'est un jour de tempête. Vous êtes assis à la maison et regardez par la fenêtre. Parfois, vous voyez des feuilles soufflées par votre fenêtre. Vous obtenez vos marqueurs de tableau blanc et dessinez un système de coordonnées sur votre fenêtre, vous pouvez donc maintenant observer plusieurs chemins de feuille et les comparer:

Ainsi, chaque chemin est une réalisation du processus stochastique "sentiers foliaires un jour de tempête".

Maintenant, vous commencez par considérer l'un des chemins: vous appelez un ami, qui est un excellent gars en aérodynamique / physique, et vous dérivez tous les deux un modèle stochastique pour ce qui se passe avec les objets soufflés dans la maison. Il s'avère que le$y$ la position d'un congé a une valeur d'attente constante après une moyenne sur $x$.

Maintenant, vous allez regarder un fixe $x$-position, mais moyenne sur toutes les centaines de feuilles. Il s’avère que, par une modélisation mathématique minutieuse, l’attente de la$y$ en faisant la moyenne de toutes les réalisations prend la même valeur que lors de la moyenne d'une réalisation unique sur $x$.

Il est généralement plus difficile de comprendre le cas non ergodique (c'est pourquoi les gens recherchent plus souvent des exemples de tels processus).

Comme exemple de processus ergodique, laissez le processus $X(t)$représentent des lancers de pièces répétés. A chaque fois$t$, nous avons une variable aléatoire $X$ qui peut choisir entre $0$ ou $1$. S'il s'agit d'une pièce équitable, la moyenne d'ensemble est$\frac{1}{2}$ puisque les deux possibilités sont équiprobables.

Maintenant, si vous répétez cet essai un grand nombre de fois comme $N$ and then calculate the time average $m=\frac{X(1)+X(2)+\cdots}{N}$, then you can see that $m\to \frac{1}{2}$. Hence, the ensemble mean is equal to time average and the process is ergodic.

Regarding the second part of your question, we can use ergodicity to simplify problems. For example, between ensemble mean and the time average one might be difficult or even impossible to calculate (or simulate). But since we know (or assume) the process is ergodic (i.e they are identical), we just calculate the one that is simpler. As an example, I can think of Monte Carlo methods (such as those we use to model the error performance of a communication system) where we simulate the transmission-reception chain and repeat it for several times and average the results to find out about the ensemble properties (like the probability of error, etc.).