Un intégrateur qui fuit est-il la même chose qu'un filtre passe-bas?

L'équation régissant un intégrateur qui fuit (selon Wikipédia au moins) est

$\frac{d\mathcal{O}}{dt} + A\mathcal{O}(t) = \mathcal{I}(t)$ .

Un intégrateur qui fuit en temps continu est-il donc la même chose qu'un filtre passe-bas avec une constante de temps , jusqu'à une certaine mise à l'échelle de l'entrée?$A$

Un intégrateur dit qui fuit est un filtre de premier ordre avec rétroaction. Trouvons sa fonction de transfert, en supposant que l'entrée est et la sortie :y ( t $x(t)$$y(t)$

$$\frac{dy(t)}{dt} + Ay(t) = x(t)$$

$$\mathcal{L}\left\{\frac{dy(t)}{dt} + Ay(t)\right\} = \mathcal{L}\left\{x(t)\right\}$$

où indique l'application de la transformée de Laplace . Avancer:$\mathcal{L}$

$$sY(s) + AY(s) = X(s)$$

$$H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{1}{s + A}$$

(profitant de la propriété de la transformée de Laplace qui , en supposant que ).y(0)=$\frac{dy(t)}{dt} \Leftrightarrow sY(s)$$y(0) = 0$

Ce système, avec fonction de transfert , a un seul pôle à . N'oubliez pas que sa réponse en fréquence à la fréquence peut être trouvée en laissant :s = - A ω s = j $H(s)$$s = -A$$\omega$$s=j\omega$

$$H(j\omega) = \frac{1}{j\omega + A}$$

Pour obtenir une vue approximative de cette réponse, laissez d'abord :$\omega \to 0$

$$\lim_{\omega \to 0} H(\omega) = \frac{1}{A}$$

Ainsi , le gain DC du système est inversement proportionnel au facteur de rétroaction . Ensuite, laissez :w → $A$$w \to \infty$

$$\lim_{\omega \to \infty} H(\omega) = 0$$

La réponse en fréquence du système passe donc à zéro pour les hautes fréquences. Cela suit le prototype grossier d'un filtre passe-bas. Pour répondre à votre autre question concernant sa constante de temps, il vaut la peine de vérifier la réponse du système dans le domaine temporel. Sa réponse impulsionnelle peut être trouvée en transformant inversement la fonction de transfert:

$$H(s) = \frac{1}{s+A} \Leftrightarrow e^{-At}u(t) = h(t)$$

où est la fonction de pas de Heaviside . Il s'agit d'une transformation très courante que l'on retrouve souvent dans les tableaux de transformations de Laplace . Cette réponse impulsionnelle est une fonction de décroissance exponentielle , qui est généralement écrite au format suivant:$u(t)$

$$h(t) = e^{-\frac{t}{\tau}}u(t)$$

où est défini comme étant la constante de temps de la fonction. Ainsi, dans votre exemple, la constante de temps du système est .τ = 1$\tau$$\tau = \frac{1}{A}$

La réponse en fréquence est la même, oui, mais l'application est différente:

• Avec un filtre passe-bas, votre signal est dans la bande passante. La fréquence de coupure du filtre est définie au - dessus de la fréquence la plus élevée que vous souhaitez conserver dans votre signal.
• Avec un intégrateur qui fuit, votre signal est dans la bande d'arrêt. La fréquence de coupure du filtre est définie en dessous de la fréquence la plus basse de votre signal.

De plus, les intégrateurs sont toujours de premier ordre, tandis que les filtres passe-bas peuvent être de n'importe quel ordre.