Pourquoi une phase linéaire est-elle importante?

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Si les conditions de symétrie sont remplies, les filtres FIR ont une phase linéaire. Ce n'est pas vrai pour les filtres IIR.

Cependant, pour quelles applications est-il mauvais d'appliquer des filtres qui n'ont pas cette propriété et quel serait l'effet négatif?

filters filter-design fir L'enfant aux phéromones
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Un filtre de phase linéaire préservera la forme d'onde du signal ou de la composante du signal d'entrée (dans la mesure du possible, étant donné que certaines fréquences seront modifiées en amplitude par l'action du filtre).

Cela pourrait être important dans plusieurs domaines:

traitement et démodulation cohérents du signal , où la forme d'onde est importante car une décision de seuillage doit être prise sur la forme d'onde (éventuellement dans l'espace en quadrature, et avec de nombreux seuils, par exemple 128 modulation QAM), afin de décider si un signal reçu représentait un "1 "ou" 0 ". Par conséquent, la préservation ou la récupération de la forme d'onde transmise à l'origine est de la plus haute importance, sinon de mauvaises décisions de seuillage seront prises, ce qui représenterait une erreur de bit dans le système de communication.
traitement du signal radar , où la forme d'onde d'un signal radar renvoyé peut contenir des informations importantes sur les propriétés de la cible
traitement audio , où certains croient (bien que beaucoup contestent l'importance) que "l'alignement temporel" des différentes composantes d'une forme d'onde complexe est important pour reproduire ou maintenir les qualités subtiles de l'expérience d'écoute (comme "l'image stéréo", etc.)

AndyW
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(J'ai fait des tests d'écoute ABX et j'ai pu distinguer le crossover Linkwitz-Riley du 8ème ordre sans. Les sons impulsifs deviennent "gazouillis" car les hautes fréquences arrivent un peu plus tôt que les basses. Donc, le # 3 n'est pas totalement farfelu.)

endolith

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Inutile de dire que la propriété de conservation de la forme d'onde ne s'applique qu'aux signaux à bande étroite ... Sinon (pour les signaux à large bande généraux), le filtre (qu'il s'agisse d'une phase linéaire ou non) changera la forme du signal autant que la réponse impulsionnelle évoluera avec le signal. .

Fat32

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Permettez-moi d'ajouter le graphique suivant aux bonnes réponses déjà données.

Lorsqu'un filtre a une phase linéaire , alors toutes les fréquences à l'intérieur de ce signal seront retardées de la même quantité dans le temps (comme décrit mathématiquement dans la réponse de Fat32).

Tout signal peut être décomposé (via la série Fourier) en composantes de fréquence distinctes. Lorsque le signal est retardé par n'importe quel canal (tel qu'un filtre), tant que toutes ces composantes de fréquence sont retardées de la même quantité, le même signal (signal d'intérêt, dans la bande passante du canal) sera recréé après le retard .

Considérons une onde carrée qui, à travers l'expansion de la série de Fourier, se révèle être composée d'un nombre infini de fréquences harmoniques impaires.

Dans le graphique ci-dessus, je montre la somme des trois premiers composants. Si ces composants sont tous retardés de la même quantité, la forme d'onde d'intérêt est intacte lorsque ces composants sont additionnés. Cependant, une distorsion de retard de groupe importante se produira si chaque composante de fréquence est retardée d'une durée différente.

Les informations suivantes peuvent aider à donner un aperçu intuitif supplémentaire à ceux qui ont des antécédents RF ou analogiques.

Considérons une ligne à retard à large bande sans perte idéale (telle qu'approximée par une longueur de câble coaxial), qui peut transmettre des signaux à large bande sans distorsion.

La fonction de transfert d'un tel câble est représentée dans le graphique ci-dessous, ayant une amplitude de 1 pour toutes les fréquences et une phase augmentant négativement en proportion linéaire directe à la fréquence. Plus le câble est long, plus la pente de la phase est raide, mais dans tous les cas "phase linéaire".

C'est logique; le retard de phase d'un signal de 1 Hz passant à travers un câble avec un retard de 1 seconde sera de 360 °, tandis qu'un signal de 2 Hz avec le même retard sera de 720 °, etc ...

$z^{-1}$ $0$ $-2\pi$

$\tau$ $-\omega \tau$ $\omega$

F {g (t - τ)} = \int_{- \infty}^{\infty} g (t - τ) e^{j ω t} ré t

$\mathscr{F}\{g(t-\tau)\} = \int_{-\infty}^{\infty}g(t-\tau)e^{j\omega t}dt$

u = t - τ

$u = t - \tau$

F {g (u)} = \int_{- \infty}^{\infty} g (u) e^{- j ω (u + τ)} ré u

$\mathscr{F}\{g(u)\} = \int_{-\infty}^{\infty}g(u)e^{-j\omega (u+\tau)}du$

= e^{- j ω τ} \int_{- \infty}^{\infty} g (u) e^{- j ω u} ré u

$= e^{-j\omega \tau}\int_{-\infty}^{\infty}g(u)e^{-j\omega u}du$

= e^{- j ω τ} g (j ω)

$= e^{-j\omega \tau}G(j\omega)$

Dan Boschen
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Dan, votre graphique au visage joyeux et triste m'a fait rire à haute voix à quel point c'est informatif! Bien fait!

Oreo

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Juste pour ajouter à ce qui a déjà été dit, vous pouvez le voir intuitivement en regardant la sinusoïde suivante avec une fréquence qui augmente de façon monotone.

Décaler ce signal vers la droite ou la gauche changera sa phase. Mais notez également que le changement de phase sera plus important pour les fréquences plus élevées et plus petit pour les fréquences plus basses. Ou en d'autres termes, la phase augmente linéairement avec la fréquence. Ainsi, un décalage temporel constant correspond à un changement de phase linéaire dans le domaine fréquentiel.

orodbhen
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Meilleure réponse imo.

Felix Crazzolara

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τ (ω) = - \frac{ré ϕ (ω)}{ré ω}

$\tau(\omega) = - \frac {d\phi(\omega)}{d\omega}$

x [n]

$x[n]$

ϕ (ω)

$\phi(\omega)$

$n_0$ $x[n]$ $y[n] = K x[n-n_0]$ $K$ $x[n]$ $\omega$ $K(w)$

Quel est alors l'effet d'un filtre à phase non linéaire (ou retard de groupe dépendant de la fréquence) sur le signal d'entrée? Un exemple simple serait un signal d'entrée compliqué considéré comme une somme de plusieurs paquets d'ondes à différentes fréquences centrales. Après le filtrage, chaque paquet avec une fréquence centrale particulière sera décalé (retardé) différemment en raison du retard de groupe dépendant de la fréquence. Et cela se traduira par un changement de l'ordre du temps (ou de l'ordre de l'espace) de ces paquets d'ondes, parfois de manière drastique, en fonction de la non-linéarité de la phase, qui est appelée dispersionen terminologie des communications. Non seulement la forme d'onde composite, mais aussi certaines commandes d'événements peuvent être perdues. Ce type de canaux dispersifs a des effets graves tels que l'ISI (inter-interférence inter-symboles) sur les données transmises.

Cette propriété des filtres de phase linéaires est donc également connue sous le nom de propriété de conservation de forme d' onde , qui est applicable aux signaux à bande étroite en particulier. Un exemple où la forme d'onde est importante, autre que l'ISI comme mentionné ci-dessus, est dans le traitement des images, où les informations de phase de transformée de Fourier sont d'une importance primordiale par rapport à l'amplitude de la transformée de Fourier, pour l'intelligibilité de l'image. La même chose, cependant, ne peut pas être dite pour la perception des signaux sonores en raison d'un type différent de sensibilité de l'oreille au stimulus.

Fat32
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Que signifie la phase linéaire généralisée dans ce contexte?

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@ 0MW Je suppose que cela signifie qu'un déphasage constant est également autorisé, comme dans la transformée de Hilbert .

Olli Niemitalo

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La réponse à cette question a déjà été clairement expliquée dans les réponses précédentes. Pourtant, je souhaite essayer de présenter une interprétation mathématique du même

$H(w)$

$e^{jw_{0}t}$ $H(w_{0})e^{jw_{0}t}$

$H(w_{0})$ $arg(H(w))$ $|H(w)|$

une r g (H (w)) = K w

$arg(H(w)) = Kw$

K

$K$

$e^{jw_{0}t}$

y (t) = | H (w) | * e^{j w_{0} t + j K w_{0}}

$y(t) = |H(w)|*e^{jw_{0}t + jKw_{0}}$

= | H (w) | * e^{j w_{0} (t + K)}

$= |H(w)|*e^{jw_{0}(t + K)}$

Donc, si la phase est linéaire, alors toutes les composantes de fréquence du signal subiront la même quantité de retard dans le domaine temporel, ce qui entraîne la conservation de la forme.

SakSath
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Je vais juste mettre un résumé pour ces excellentes réponses mentionnées ci-dessus:

le décalage du signal dans le domaine temporel entraînera un déphasage proportionnel à la fréquence, donc f (t + dt) serait F (f) e (j2πfdt)
Lorsqu'un filtre avec une réponse de phase de revêtement, toutes les fréquences du signal d'entrée vers ce filtre seront décalées avec la même quantité dans le domaine temporel, ce qui conduira à la possibilité de recréer le signal d'entrée.

Youssef Rafaat
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Pourquoi une phase linéaire est-elle importante?

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