Pourquoi une partie réelle de la FFT convertit l'image en rotation + original?

J'ai lu cette image:

pris sa FFT (2D) puis FFT inverse pour récupérer exactement l'image. Le code est fourni pour référence:

imfft = fft2(photographer);
im = uint8(ifft2(imfft));

imshow(im); %Output is same image

Mais quand je change le fourier et ne prends que la vraie partie,

imfft = real(fft2(photographer));
im = uint8(ifft2(imfft));
imshow(im);

J'obtiens une image comme celle-ci ( notez que le changement de taille n'est pas pertinent et uniquement en raison de son enregistrement à partir du gestionnaire de figures Matlab ):

Quelqu'un peut-il m'expliquer la théorie (mathématiques) derrière cela? Merci

Disons que votre image est donnée par $I(x,y)$

$$I^f(\omega_x,\omega_y) = \int_x\int_yI(x,y)e^{j\omega_xx}e^{j\omega_yy}dxdy$$

Maintenant, vous prenez la partie réelle et effectuez l'inverse:

$$\begin{align} I_m(\alpha,\beta) &= \int_{\omega_x}\int_{\omega_y}\Re\left\{I^f(\omega_x,\omega_y)\right\} e^{j\omega_x\alpha}e^{j\omega_y\beta}d\omega_xd\omega_y \\ &= \int_{\omega_x}\int_{\omega_y}\Re\left\{\int_x\int_yI(x,y)e^{j\omega_xx}e^{j\omega_yy}dxdy\right\} e^{j\omega_x\alpha}e^{j\omega_y\beta}d\omega_xd\omega_y\\ &= \int_x\int_yI(x,y)\int_{\omega_x}\int_{\omega_y}\Re\left\{e^{j\omega_xx}e^{j\omega_yy}\right\} e^{j\omega_x\alpha}e^{j\omega_y\beta}d\omega_xd\omega_ydxdy \end{align}$$

$$\cos(\omega_xx)\cos(\omega_yy) + \sin(\omega_xx)\sin(\omega_yy)$$ $$\frac{1}{2}\left[\delta(x-\alpha)\delta(y-\beta) + \delta(x+\alpha)\delta(y+\beta)\right]$$

$I_m$

$$I_m(x,y) = \frac{1}{2}\left[I(x,y)+I(-x,-y)\right]$$

$x,y>0$$N$

$$I_m(x,y) = \frac{1}{2}\left[I(x,y)+I(N-x,M-y)\right]$$ $N,M$

$z$$(x,y)$$z^*$$(-x,-y)$sur l'origine. Notez que l'origine ici serait le centre de l'espace de Fourier. Cela peut être reformulé, bien sûr, si le composant DC n'est pas au centre de votre implémentation FFT. Et voici ce que vous voyez dans votre image: une version à réflexion ponctuelle recouvre la véritable image - parce que vous avez forcé un espace à être réellement valorisé.

Cette propriété est en fait utilisée pour accélérer l'imagerie par résonance magnétique (IRM) dans certains cas: l'IRM acquiert les données directement dans l'espace de Fourier. Puisqu'une image MR idéale ne peut être décrite que par des valeurs réelles (tous les vecteurs de magnétisation excités ont la phase 0), vous n'avez qu'à acquérir la moitié de l'espace de données, ce qui vous fait gagner la moitié du temps d'imagerie. Bien sûr, les images IRM ne sont pas complètement réelles en raison des limites de la réalité ... mais avec quelques astuces, vous pouvez toujours utiliser cette technique de manière avantageuse.