Quelle est la signification d'un zéro / pôle complexe?

J'étudie le traitement et le contrôle du signal depuis un certain temps maintenant, et j'utilise les transformations de Laplace et de Fourier presque tous les jours. Aussi d'autres outils tels que les parcelles de Nyquist ou de Bode.

Cependant, je n'y avais jamais pensé jusqu'à aujourd'hui: quelle est la signification physique d'un nombre complexe lorsqu'il s'agit de fréquences?

Cela peut sembler idiot, mais on m'a posé cette question et je ne savais pas quoi répondre. Pourquoi parle-t-on de et pas seulement de dans, par exemple, les transformées de Fourier et les tracés de Bode ou de Nyquist? Quel est le sens physique de la partie réelle et imaginaire d'un zéro ou d'un pôle dans le domaine de Laplace?$j\omega$$\omega$

On parle généralement de $j\omega$ lorsque nous sommes également intéressés par la transformation de Laplace d'un signal / système, mais que nous voulons simplement parler de la réponse en fréquence.

La signification physique de la partie imaginaire est qu'elle se réfère à des signaux purement sinusoïdaux et est une "amplitude" constante. La partie réelle fait référence aux signaux pour lesquels "l'amplitude" décroît ou croît de façon exponentielle.

Je pense que j'ai commencé à comprendre la relation entre les zéros / pôles et la réponse en fréquence . L'idée est que vous ajustez la fréquence$w$ de vos fonctions de base dans le domaine fréquentiel $e^{jwn}$ et la vitesse de leur désintégration pour correspondre à la $z_{zero/pole}$. Je veux dire que ce zéro / pôle peut être un nombre complexe avec une amplitude en dehors du cercle unique et en ajustant la fréquence à laquelle vous déplacez votre nombre complexe$e^{-jw}$ vecteur le long du cercle unique dans le plan complexe, mais aucune fréquence ne peut le rendre égal à $z=2$ ou $z=j/3$, par exemple. Ainsi, vos fonctions de base doivent ressembler à$e^{(k-jw)n}$pour atteindre n'importe quel pôle / zéro dans le plan complexe. C'est intéressant parce que j'ai entendu cette base de Fourier$e^{-jw}$ peut représenter n'importe quel singnal mais cela semble insuffisant et il nous faut la base de Laplace $e^{(k-jw)n}$ dans la conception des filtres.

Maintenant, purement réel $z$signifie que "l'exposant complexe" qui lui correspond n'a pas de composant imaginaire. Il doit se désintégrer sans oscillations, comme$e^{kn}$, afin de répondre au zéro / pôle. Prenez la pole à$z=1$, par exemple. Vous avez un système$y_n - y_{n-1} = x_n + x_{n-1} + \ldots$ pour que $Y(z) = X(z)/(1-z).$ Le pôle $z = e^{-jw} =1$ correspond à la fréquence $w=0$. En effet, avec$x_n=1$, on a $y_n = y_{n-1} + 1$qui grandit sans limite. Faire osciller, c.-à-d. Régler$w \neq 1$, interrompra la croissance, car elle s'accumulera d'abord, lorsque $x_n=2cos(wn) = e^{jwn} +e^{-jwn}> 0$puis réduire l'accumulation à zéro, au cours de la seconde moitié de la période sinusoïdale. Cela suggère que les pôles imaginaires vous donneront des réponses infinies pour les fonctions oscillantes (composants de votre signal d'entrée).

Quand vous avez un système $y_n=ay_{n-1}$, vous pouvez facilement obtenir la fonction de pôle en appliquant une impulsion delta à l'entrée. La réponse observée est le pôle. Je veux dire que la réponse est un exposant en décomposition$y_n = e^{k-jw}n=a^n$. Chaque horloge c'est$a = e^{k-jw}=e^ke^{-jw}$fois la valeur précédente. Notez qu'il (le pôle aka coefficient de rétroaction et, donc la fonction de réponse) est complexe il général, ce qui signifie que votre réponse oscillera. Lorsque vous multipliez un nombre complexe par un autre, votre nombre est échelonné en longueur et décalé en phase. La partie complexe est responsable du déphasage (les oscillations).

Je me souviens de la théorie des systèmes que les oscillations représentent en fait le système du second ordre. Cela répondra probablement à la question de la cellule de commutation des mines . L'idée est que lorsque vous avez le premier niveau contrôle l'incrément de l'autre et que l'autre contrôle l'incrément du premier, comme l'inductance électrique et le condensateur dans l'oscillateur harmonique,

$$\begin{cases} \dot{u} & = &i\\ \dot{i} & = &-u\\ \end{cases}$$

est un système de second ordre car il peut être étendu à $\ddot{u} = \dot{i} = -u$, la célèbre équation des oscillateurs à ressort: la position contrôle négativement l'accélération. Ainsi, deux variables d'état purement réelles (aka accumulateurs) oscillent. Je vois que le plan complexe se compose également de deux axes, les deux mêmes variables. Lorsque toute l'énergie est concentrée dans le premier accumulateur, vous avez l'état 1 + 0j, à mi-chemin, vous avez l'opposé, état = 0 + 1j, puis le deuxième accumulateur a poussé l'énergie vers l'arrière, état3 = -1 + 0j, qui est pongé au premier dans l'état 4 = 0-j et répète le processus. Ce sont les quatre quarts de voyager le long d'un cercle unitaire dans le plan complexe et d'imiter les oscillations harmoniques. Donc, vous pourrez probablement vous séparer$1/(1-(a+jb)z)$ dans $1/(1-r_0z)\cdot 1/(1-r_1z)$ avec du vrai $r_0$ et $r_1$.

Attendez, vous ne pouvez pas faire ce décompose unique $z$ dans $z^2$et je rappelle que les pôles complexes viennent toujours en paires conjuguées. Autrement dit, si vous avez un pôle (a + jb), vous avez également (a-jb). Si je comprends bien, cela aide à rendre la sortie purement réelle, compte tenu de l'entrée réelle, car la rétroaction (a + jb) signifie que le système évolue comme$(a+jb)^n = e^{(k+jw)n}$, la phase tourne dans un sens alors que

$$(a-jb)^n = e^{(k-jw)n}$$ fait tourner la phase dans l'autre sens et leur somme est $e^{kn}(e^{jw}+e^{-jw})^n$est purement réel. le$x_{n+1}=-x_{n-1}$ le système ci-dessus a une solution $X(z)=(x_0+zx_1)/(1+z^2)=(x_0+zx_1)/[(1+jz)(1-jz)]$. Vous comprenez probablement déjà cela. Je viens d'élargir votre question.

La fonction de transfert $1/(1+z^2)$ représente la séquence $\{1,0,-1,0,1,0,\ldots\}$. Il doit y avoir une "variable cachée" (oui, c'est intéressant si la complexité des pôles est identique au besoin de nombres imaginaires dont nous avons besoin dans QM. La position et les impulsions sont des conjugués complexes, une sorte de rotation à 90 °, les uns des autres et en connaissant l'une, vous pouvez calculer l'autre) variable cachée afin de garder à l'esprit si nous passons à 1 ou -1 après l'état 0. Le conjugué complexe est une sorte d'accumulateur orthogonal complémentaire mais une variable réelle, comme le courant d'inductance pour la tension du condensateur, qui garde cette trace. Je joins la question à quiconque pour clarifier pourquoi nous avons besoin de deux compléments de ce type afin d'avoir une oscillation de tension purement réelle et que signifie une oscillation complexe unique.

Je le vois de cette façon (pour l'oscillateur LC ci-dessus)

$$\begin{bmatrix}\text{state} &\text{description}& \text{capacitor [V]} & \text{inductor [I]} \\ 0&\text{all energy is in the capacitor} & 1 + 0j & 0 + j \\ 1&\text{all energy is in the inductor} & 0 + j & 1 + 0 \\ 2&\text{all energy is negaitvely charged cap} & -1 + 0 & 0 + -j \\ 3&\text{all energy is negative current} & 0 + -j & -1 + 0 \\ \end{bmatrix}$$

Autrement dit, ce que vous voyez la tension imaginaire est un courant réel dans un cadre de référence parallèle, c'est-à-dire du point de vue de l'inductance. Parce que, comme je vous l'ai dit, l'état LTI évolue en multipliant l'état actuel par la valeur propre, nous devons osciller entre 1 et -1 sur le cercle unitaire, ce qui implique j états intermédiaires. Mais, ce que vous voyez comme de l'énergie conservée dans l'espace imaginaire, n'est qu'un autre accumulateur. L'accumulateur conjugué n'est qu'un autre accumulateur. Pour une raison quelconque, il se trouve qu'il est de type conjugué, comme j'ai essayé de l'expliquer dans la cellule de commutation .

Je semble dévier à nouveau. L'oscillation harmonique étant une superposition de deux évolutions, faite par deux pôles complexes$j$ et $-j$, nous devrions avoir deux colonnes pour chaque variable conjuguée. Voici la partie manquante

$$\begin{bmatrix}\text{state} & \text{capacitor -j [V]} & \text{inductor [I]} \\ 0& 1 & 0 j \\ 1& 0 - j & -1 \\ 2& -1 + 0 & -j \\ 3& 0 + j & +1 \\ \end{bmatrix}$$

La tension dans le condensateur est une valeur réelle, qui est une moyenne de deux colonnes de condensateur, $(j^n + (-j)^n)/2 = \cos (n\pi/2)$. Les processus de rotation opposés annulent les composants imaginaires. En fait, le courant circule dans une direction mais$\ddot(x)=-x$admet n'importe quelle direction et l'abstrait, sauf la moyenne. Ainsi, le pôle seul représente un processus concret, la circulation du courant dans un sens ou dans l'autre. Et, si vous demandez quel est le pôle complexe, la réponse est que c'est le facteur par lequel le vecteur [courant, tension] est mis à l'échelle à chaque horloge si nous sommes dans le domaine discret (ou [di / dt, dv / dt] si nous sont dans le domaine continu) où le facteur réel représente leur amplitude, la partie réelle$cos w$ du facteur complexe $e^{jw}$ signifie évolution de la tension et partie imaginaire $sin w$représente l'évolution actuelle. Le courant est imaginaire parce que vous regardez du point de vue de la tension,$\ddot{v}=-v$. En revanche, la tension serait imaginaire et actuelle réelle à partir du référentiel actuel,$\ddot{i}=-i$. J'espère que c'est correct et que n'importe qui peut mieux l'expliquer.

Les transformées de Laplace peuvent être utilisées pour prédire le comportement d'un circuit. La transformée de Laplace prend une fonction temporelle$f(t)$, et le transforme en fonction $F(s)$ dans le $s$-domaine. Vous pouvez visualiser les transformations de Laplace$F(s)$ sous forme de rapports de polynômes dans le $s$-domaine. Si vous trouvez les racines (pôles) réelles et complexes de ces polynômes, vous pouvez avoir une idée générale de ce que la forme d'onde$f(t)$ ressemblera.

Par exemple, comme indiqué dans ce tableau, si les racines sont réelles, la forme d'onde est exponentielle. S'ils sont imaginaires, alors c'est une combinaison de sinus et de cosinus. Et s'ils sont complexes, c'est une sinusoïde amortissante.

Tout cela vient de la formule d'Euler et de la définition de la série de Fourier qui est un moyen de représenter une fonction (semblable à une onde) comme la somme des ondes sinusoïdales simples.

Une réponse est très simple: l'information.

Un signal CA ne peut tout simplement pas être quantifié avec un seul chiffre. Additionnez deux signaux 100 Hz 1 V et vous pourriez obtenir quelque chose entre 0 et 2 selon la phase. Les nombres complexes résolvent ce problème en «transportant» deux informations tout le temps.

Les pôles et les zéros sont similaires - leur fréquence ne vous dit pas tout. Deux filtres RC créent deux pôles. Un filtre LC crée deux pôles. Mais ils ne sont pas égaux. Les nombres complexes sont capables de transporter les informations qui décrivent la différence.

Point théorique de vous. Veuillez essayer de prendre une racine carrée de fréquences négatives et cela vous mènera à un endroit étrange.

Il y a environ 300 ans, il a fallu introduire une variable appelée $j$

Néanmoins, la transformée de Laplace transforme le signal du domaine temporel en $s$-domaine où

$$s=\sigma+j\omega$$

où comme transformée de Fourier, dans le domaine fréquentiel $j\omega$