Convertir un FIR en un IIR équivalent

Existe-t-il un moyen de convertir un FIRen un IIRfiltre avec le comportement le plus similaire?

Je dirais que la réponse à votre question - si elle est prise à la lettre - est «non», il n'y a pas de moyen général de simplement convertir un filtre FIR en filtre IIR.

Je suis d'accord avec RBJ qu'une façon d'aborder le problème est d'examiner la réponse impulsionnelle du filtre FIR et d'utiliser une méthode de domaine temporel (telle que la méthode de Prony) pour approximer cette réponse impulsionnelle par un filtre IIR.

Si vous partez de la réponse en fréquence, vous disposez de nombreuses méthodes pour concevoir des filtres IIR. Même si elle a été publiée il y a environ 25 ans, je pense que la méthode de Chen et Parks est toujours l'une des meilleures façons d'aborder le problème de conception. Une autre méthode très simple pour la conception de domaine de fréquence des filtres IIR est la méthode d'erreur d'équation, qui est décrite dans le livre Digital Filter Design de Parks and Burrus. Je l'ai expliqué dans cette réponse .

Si la réponse de phase est importante pour vous, alors un problème auquel vous serez confronté lors de la conception de filtres IIR dans le domaine fréquentiel est le choix exact de la réponse de phase souhaitée. Si la forme globale de la phase souhaitée est donnée, vous avez encore un degré de liberté, qui est le retard. Par exemple, si la phase souhaitée est$\phi_D(\omega)$et l'amplitude souhaitée est $M_D(\omega)$ alors votre réponse en fréquence souhaitée peut être choisie comme

où $\tau$est un paramètre de retard inconnu. Bien sûr, vous pouvez dire que si$\phi_D(\omega)$est donné alors vous ne voulez pas le modifier avec un délai supplémentaire (positif ou négatif). Mais il s'avère que dans la pratique, le retard moyen n'est pas toujours important, et - plus important encore - pour certaines valeurs de$\tau$votre approximation sera bien meilleure pour un ordre de filtrage donné que pour d'autres. Donc le retard$\tau$ peut devenir un paramètre de conception supplémentaire et doit être choisi de manière optimale ou au moins raisonnable.

J'ai écrit une thèse sur la conception de filtres numériques avec des réponses d'amplitude et de phase prescrites. Un chapitre traite de la conception du domaine fréquentiel des filtres IIR. Cette méthode peut être utilisée pour concevoir des filtres IIR avec une phase approximativement linéaire dans les bandes passantes, ou pour approximer toute autre réponse de phase (et d’amplitude) souhaitée. Les filtres sont non seulement garantis stables, mais vous pouvez également prescrire un rayon de pôle maximum, c'est-à-dire que vous pouvez définir une certaine marge de stabilité. Vous pouvez également trouver cette méthode dans un article publié dans IEEE Transactions on Signal Processing.

La réponse de Matt L est la meilleure du point de vue DSP.

Il existe toute une gamme de techniques issues de la littérature sur le contrôle qui pourraient également faire ce que vous demandez. Bien que cela ne transforme pas explicitement un filtre FIR en IIR, les techniques trouveront généralement une solution IIR à moins que d'autres contraintes ne soient appliquées.

Certaines des techniques sont:

• La troncature équilibrée est, en effet, une approche d'analyse en composantes principales pour réduire l'ordre d'un filtre. Il existe une implémentation matlab dans la Robust Control Toolbox.

• L'optimisation de la norme de Hankel optimale utilise la norme de Hankel de type infini pour approximer un système d'ordre élevé avec l'un d'un ordre inférieur. Il existe une implémentation matlab dans la Robust Control Toolbox.

Encore une autre méthode qui pourrait être en mesure d'approximer (pas exactement correspondre) une réponse de fréquence arbitraire donnée (comme celle décrite par un filtre FIR donné) par un filtre IIR, est l'évolution différentielle. L'évolution différentielle est un type d'algorithme génétique qui, pour cette utilisation, sélectionne et adapte de manière itérative un ensemble de pôles et de zéros afin de minimiser une erreur de différence calculée. Il semble y avoir quelques articles de l'IEEE sur le sujet, ainsi qu'un chapitre dans l'un des livres de Rick Lyons ("Streamlining DSP").

Si vous essayez de faire correspondre la réponse impulsionnelle de l'IIF à une réponse impulsionnelle donnée, quelle que soit sa définition mathématique (je suppose que la FIR est aussi bonne qu'une définition), j'ai toujours pensé que la méthode Prony était la première poignarder le problème.

Si vous essayez de faire correspondre la réponse en fréquence de l'IIF à une réponse en fréquence donnée, quelle que soit sa définition mathématique (je suppose que la réponse en fréquence de la FIR est aussi bonne qu'une définition), j'ai récemment pensé que Greg Berchin FDLS pourrait être la voie à suivre. Richard Lyons (qui a commenté votre question) a publié une monographie où Greg avait un chapitre décrivant la méthode. Matt L a également fait des recherches et publié sur le problème.

eh bien oui, puisque vous n'aviez pas besoin d'un équivalent exact mais non sans chagrin

Un filtre FIR équivaut à un polynôme

On peut dériver une approximation de Pade.

Il ne sera pas nécessairement stable, il est très sensible à la mise à l'échelle et le résultat n'est pas passionnant.

https://en.wikipedia.org/wiki/Pad%C3%A9_approximant

Utiliser une fenêtre de suspension comme exemple FIR et la routine Pade dans la boîte à outils symbolique (ce que la plupart des gens n'ont pas mais que gnu Maxima fait)

Mon autre idée que je n'ai pas poursuivie serait de générer un processus MA pseudo-aléatoire, puis d'utiliser un estimateur ARMA pour récupérer la fonction de transfert rationnel.

p = poly2sym (sym (round (100 * hanning (16))))% échelle mise à l'échelle

p = 3 * x ^ 15 + 13 * x ^ 14 + 28 * x ^ 13 + 45 * x ^ 12 + 64 * x ^ 11 + 80 * x ^ 10 + 93 * x ^ 9 + 99 * x ^ 8 + 99 * x ^ 7 + 93 * x ^ 6 + 80 * x ^ 5 + 64 * x ^ 4 + 45 * x ^ 3 + 28 * x ^ 2 + 13 * x + 3

h = pade (p, 'Ordre', [3 3])

h = - (2534 * x ^ 3 + 11071 * x ^ 2 + 10368 * x + 2961) / (- 2213 * x ^ 3 + 1964 * x ^ 2 + 821 * x - 987)

[n, d] = numden (h)

n = - 2534 * x ^ 3 - 11071 * x ^ 2 - 10368 * x - 2961

d = - 2213 * x ^ 3 + 1964 * x ^ 2 + 821 * x - 987

num = sym2poly (n)

num = -2534 -11071 -10368 -2961

den = sym2poly (d)

den = -2213 1964 821 -987

sapin = sym2poly (p);

rn = racines (num)

rn = -3,2067 + 0,0000i

-0,5812 + 0,1633i

-0,5812 - 0,1633i

rd = racines (den)

rd = -0,6679 + 0,0000i

0,7777 + 0,2510i

0,7777 - 0,2510i

num = num / somme (abs (num)); % coefficients de normalisation

den = den / sum (abs (den));

sapin = sapin / somme (abs (sapin));

[h, z] = freqz (num, den, 1024);

graphique (1) graphique (z, log10 (abs (h))); ylabel ('dB') figure (2) [h, z] = freqz (sapin, 1,1024); graphique (z, log10 (abs (h))); ylabel ('dB')

Écho off

Il est tentant de spéculer que si une réponse impulsionnelle fenêtrée, h de longueur L peut être "bien modélisée" par un filtre iir d'ordre inférieur (par rapport à L), alors ce dernier peut être utilisé pour extrapoler le filtre FIR au-delà de sa longueur d'origine.

Quels sont les avantages et les inconvénients pratiques de l'utilisation de Prony (domaine temporel) par rapport à l'utilisation d'Invfreqz (domaine fréquentiel)?

-k