Champs mathématiques nécessaires à la conception de filtres numériques

Je veux apprendre la conception de filtres numériques. Ma connaissance des mathématiques est au niveau secondaire. Je peux apprendre les mathématiques via Internet. Alors, quels domaines de mathématiques dois-je apprendre?

Si vous avez les boules d'apprendre les mathématiques par vous-même. Les deux domaines de mathématiques que vous devez dominer pour faire la conception de filtres sont: l'analyse fonctionnelle et l'optimisation convexe. À peu près chaque conception de filtre est le résultat d'un problème d'optimisation, comme: Trouvez ces ensembles de nombres tels que la valeur absolue de la transformée de Fourier dans ces régions de fréquence a la forme suivante (entre ces deux limites lorsque la fréquence est de 0 Hz à 320 Hz, et entre ces deux autres lorsque la fréquence est supérieure à 340 Hz). Ou, quel est l'ensemble de nombres tels que lors de l'application de la convolution discrète de la séquence des nombres à ce signal , le résultat est ce signal . Et il existe de nombreuses autres façons de les définir.$N$$N$$x(n)$$y(n)$

Et vous aurez besoin d'une analyse fonctionnelle afin de comprendre comment modéliser un signal, comment modéliser un système, et comment modéliser les interactions et les opérations entre les signaux (transformations, convolutions, etc.).

J'espère que cela aide.

Pour commencer:

Nombres complexes

La réponse en fréquence d'un filtre est plus facile à comprendre les valeurs complexes, décrivant à la fois la réponse en fréquence d'amplitude et la réponse en fréquence de phase. Vous pourrez comprendre les pôles et les zéros, qui peuvent être complexes. Les nombres complexes vous permettent d'avoir des fréquences négatives, ce qui simplifiera les mathématiques.

Trigonométrie

cos e i α = cos ( α ) + i sin ( α $\sin$ , et leur relation avec l'exponentielle complexe sont importants. Les fonctions sinusoïdales seront passées à travers des filtres avec seulement leur amplitude et leur phase affectées.$\cos$$e^{i\alpha} = \cos(\alpha) + i\sin(\alpha)$

Différenciation

Pour trouver à quelle fréquence un simple filtre culmine ou descend, vous pouvez déterminer à quelle fréquence la dérivée de sa réponse en fréquence d'amplitude est nulle.

L'intégration

L'intégration est nécessaire pour la transformée de Fourier et la transformée de Fourier inverse.

Transformée de Fourier

La transformée de Fourier vous permet de passer d'une réponse impulsionnelle à une réponse en fréquence et inversement. De plus, les choses que vous faites dans le domaine temporel ont souvent une contrepartie simple dans le domaine fréquentiel, et vice versa.

@George Theodosiou: Au lieu de plonger dans toutes sortes de sujets mathématiques de grande puissance (dont seulement une partie vous sera utile), je vous suggère de commencer par lire un livre décent pour les débutants DSP. Tels que les livres populaires "Comprendre le traitement numérique du signal" ou "Le guide du scientifique et de l'ingénieur pour le traitement numérique du signal". Ces cuillères à livres nourrissent le lecteur, lentement et doucement, les mathématiques nécessaires pour commencer à étudier le DSP. Ensuite, lorsque vous rencontrez une équation dans ces livres qui vous laisse perplexe, vous pouvez aller sur le Web et apprendre les mathématiques de cette équation particulière plus en profondeur.

George, si votre désir d'apprendre le filtrage numérique est sincère et que vous conservez votre enthousiasme, vous réussirez. Pour citer Susan B. Anthony, «l'échec est impossible». Bonne chance.

Un grand merci à ceux qui ont répondu, commenté et consulté ma question. Ma réponse est que je dois commencer par l'analyse fonctionnelle comme le suggère M. Bone. Je me souviens du lycée que lorsqu'un polynôme de x est égal à y, donne la fonction de x avec y. Je me souviens aussi du théorème fondamental de l'algèbre pour les coefficients réels. Ensuite, je peux commencer à partir de cette connaissance.

Pour la conception de filtres numériques, j'apprécie les réponses ci-dessus et j'aimerais ajouter quelques champs.

Restons d'abord limités au filtrage linéaire. La linéarité, ainsi que l'invariance temporelle, sont des hypothèses fondamentales. Avec eux, les espaces vectoriels, la convolution (intégrales et séries) et les transformées de Fourier (partie de l'analyse fonctionnelle, avec une trigonométrie adn complexe) deviennent des outils naturels. J'insiste sur le fait que ces outils sont des conséquences naturelles de la linéarité / invariance temporelle, si vous obtenez cela, vous serez doucement conduit vers les outils dont vous avez besoin. L'optimisation est assez omniprésente dans la conception des filtres.

Sur le côté, vous pouvez garder à l'esprit des champs supplémentaires. Vous pouvez être intéressé par la conception de filtres complémentaires, avec des taux différents, et la conception de filtres multi-taux peut vous conduire à la factorisation matricielle, qui est également utile dans les structures de filtre (réseau, échelle) et la factorisation spectrale. Si vous passez à l'implémentation du système réel (FPGA, microcontrôleur), vous pouvez avoir à plonger dans l'arithmétique à virgule fixe ou entière. Bien sûr, la théorie de l'échantillonnage est une exigence de premier ordre, surtout si vous allez multidimensionnel (traitement d'image). On peut même toucher des mahématiques supérieures, avec des systèmes polynomiaux et des bases de Gröbner .

J'aime beaucoup, pour une introduction mathématique de base et propre à de nombreux sujets, Gasquet & Witomski Fourier Analysis and Applications: Filtering, Numerical Computation, Wavelets .

Permettez-moi d'ajouter un problème moins mentionné: une grande question est souvent le nombre de prises et la précision (nombre de bits par coefficient) nécessaires pour satisfaire une certaine conception de filtre. Deux sources:

• Ichige et al. Estimation précise de la longueur de filtre minimale pour des filtres numériques {FIR} optimaux , Transactions IEEE sur les circuits et les systèmes II: traitement du signal analogique et numérique, 2000
• Bellanger, Sur la complexité de calcul dans les filtres numériques , 1981