Un filtre causal sans déphasage peut-il exister?

Lorsque j'étudiais la dispersion de l'indice de réfraction dans les semi-conducteurs et les diélectriques, mon professeur a essayé d'expliquer que si un filtre (comme un diélectrique absorbant certaines fréquences lumineuses ou un filtre électrique RC) supprime certaines fréquences, les autres doivent être déphasées pour compenser les fréquences (qui sont étalées à l'infini dans le temps comme des signaux monochromatiques habituels) soustraites de l'ensemble du signal, pour préserver la causalité.

Je comprends intuitivement de quoi il parlait, mais je ne suis pas sûr de savoir si son argument est vraiment justifié - c'est-à-dire s'il peut exister un filtre non trivial, qui absorbe certaines fréquences et laisse les autres non décalées, mais tout en préservant causalité. Je n'arrive pas à en construire un, mais je ne peux pas prouver qu'il n'existe pas aussi.

La question est donc: comment peut-on (dé) prouver qu'un filtre causal doit décaler les phases des fréquences les unes par rapport aux autres?

Supposons qu'un filtre linéaire ait une réponse impulsionnelle et une fonction de réponse / transfert de fréquence , où a la propriété que (contrainte de conjugaison).$h(t)$$H(f) = \mathcal F [h(t)]$$H(f)$$H(-f) = H^*(f)$

Maintenant, la réponse de ce filtre à une entrée exponentielle complexe est et si nous voulons que ce filtre ne provoque aucun déphasage, il faut que pour tout . $x(t) = e^{j2\pi f t}$

Que diriez-vous si, au lieu de pas de déphasage, nous sommes prêts à autoriser un déphasage constant fixe pour toutes les fréquences? Autrement dit, pour tout est acceptable pour nous où ne doit pas nécessairement être ? La latitude supplémentaire n'aide pas beaucoup, car , et donc ne peut pas avoir de valeur constante fixe pour tout sauf si cette valeur est . $\angle H(f) = \theta$f θ 0 ∠ H ( - f ) = - ∠ H ( f ) ∠ H ( f ) f 0 $f$$\theta$$0$$\angle H(-f) = -\angle H(f)$$\angle H(f)$$f$$0$

Nous concluons que si un filtre ne change pas du tout la phase, alors est une fonction à valeur réelle, et à cause de la contrainte de conjugaison, c'est aussi une fonction paire de . Mais alors sa transformée de Fourier est une fonction paire du temps, et donc le filtre ne peut pas être causal (sauf dans les cas triviaux): si sa réponse impulsionnelle est non nulle pour tout , alors elle est aussi non nulle pour (où ).$H(f)$f h ( t ) t > 0 - t - t < 0$f$$h(t)$$t > 0$$-t$$-t < 0$

Notez que le filtre n'a pas besoin de faire de suppression de fréquence, c'est-à-dire que nous n'avions pas besoin de l'hypothèse que certaines fréquences sont "supprimées" par le filtre (comme le fait le filtre du professeur de l'OP) pour prouver l'affirmation selon laquelle le déphasage nul n'est pas possible avec un filtre causal, suppresseur de fréquence ou non.

Il existe des filtres qui provoquent un déphasage `` linéaire '', c'est-à-dire un retard constant. Il n'est pas possible de filtrer quoi que ce soit (causalement) sans causer de retard.

Le déphasage est dû au retard, c'est-à-dire au temps mis par le signal pour atteindre de l'entrée à la sortie d'un système. Maintenant, si le système ne provoque aucun décalage de phase, cela signifie que le retard est nul. Imaginez maintenant un système qui fournit une sortie au même instant lorsque l'entrée est appliquée. Est-ce que ce sera possible? Bien sûr que non. S'il y a un système, il doit effectuer une sorte de travail sur le signal qui produit un retard et finalement un déphasage.

Vous pouvez avoir un filtre sans déphasage. Cela s'appelle un observateur (prédicteur). Ce n'est plus seulement un filtre, mais plutôt un modèle mathématique de la façon dont les lectures de plusieurs capteurs sont liées les unes aux autres. Vous êtes donc en mesure de prédire le signal et donc d'avoir la meilleure prédiction possible du signal réel au même instant que vous prenez vos mesures (pas de déphasage).