Comment se fait-il que les filtres FIR soient toujours stables?
Puisqu'ils contiennent des pôles, ne devraient-ils pas être plus affectés par les problèmes de stabilité que les autres?
filters
finite-impulse-response
user7277
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Réponses:
Les filtres FIR ne contiennent que des zéros et aucun pôle. Si un filtre contient des pôles, c'est IIR. Les filtres IIR souffrent en effet de problèmes de stabilité et doivent être manipulés avec précaution.
ÉDITER:
Après une réflexion plus approfondie et quelques gribouillages et recherches sur Google, je pense avoir une réponse à cette question des pôles FIR qui, espérons-le, sera satisfaisante pour les parties intéressées.
Commençant par la transformée en Z d'un filtre FIR apparemment sans polarité: Comme le montre la réponse de RBJ, les pôles FIR sont révélés en multipliant le numérateur et le dénominateur deH(z)parzN: H(z)=b0z N +b1z N - 1 +b2z N - 2 +⋯+bN
Cependant, afin de le montrer, l'hypothèse de causalité est placée sur le filtre. En effet, si l'on considère un filtre FIR plus général où la causalité n'est pas supposée: Un nombre différent de pôles(N-k)apparaît à l'origine: G(z)=b0z N +b1z N - 1 +b2z N - 2 +⋯+bN
Ainsi, je conclus ce qui suit:
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parce que tous les pôles sont situés à l'intérieur du cercle unitaire, le filtre FIR est ostensiblement stable.
ce n'est probablement pas le filtre FIR auquel l'OP pense, mais il existe une classe de filtres FIR appelés filtres IIR tronqués (TIIR) qui peuvent avoir un pôle sur ou à l'extérieur du cercle unitaire qui est annulé par un zéro au même endroit. l'exemple le plus simple est la somme mobile ou la moyenne mobile. mais, du point de vue des E / S, ces filtres TIIR sont FIR.
mais je ne garantirais pas naïvement la "stabilité". en utilisant le langage du système de contrôle, le filtre TIIR n'est pas "complètement observable" et peut sembler stable parce que sa réponse impulsionnelle semble de longueur finie, mais à l'intérieur des états du filtre pourrait aller en enfer, et avec une précision numérique finie, cette instabilité interne finira par apparaître à la sortie.
nous devons nous désabuser de l'idée que "les filtres FIR n'ont pas de pôles" . ce n'est pas vrai.
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"Pouvez-vous montrer mathématiquement que les filtres FIR ont des pôles, parce que je ne le vois pas." - Jim Clay
peut-on supposer que cette FIR est causale?
la réponse impulsionnelle finie:h [ n ] = 0∀n > N, n < 0
fonction de transfert de la FIR:
il vous suffit de factoriser le numérateur et vous saurez où sont les zéros. mais il est assez évident où tous les pôles sont pour un filtre FIR. et il y a autant de pôles que l'ordre du filtre FIR. notez que ces pôles n'affectent pas la réponse en fréquence. sauf pour la phase.
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Un peu par définition, en fait. Étant donné que vous entrez de l'énergie finie et que le filtre ne fournira au maximum qu'un multiple de l'énergie fournie (sa réponse impulsionnelle a une énergie finie), le signal résultant aura au maximum un multiple de l'énergie fournie. Il ne peut pas résonner et donc dégénérer, comme le peuvent les filtres IIR. C'est aussi derrière la réponse de Kenneides.
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Personne n'a vraiment expliqué pourquoi les pôles d'un filtre FIR sont amovibles, j'ai donc essayé de répondre à cette question ci-dessous.
Les filtres FIR auront des pôles amovibles à l'origine, car la limitation de leur réponse impulsionnelle l'exige. C'est autour du pôle, il est possible de définir la fonction de façon à ce qu'elle soit toujours holomorphe (différentiable en tout point de son domaine).
C'est un théorème de Riemann que si un signal est différenciable en chaque point de son domaine (sauf pour un nombre fini de points), alors il existe un voisinage autour de ces points spéciaux où la fonction est bornée. Les implications sont à double sens dans ce théorème, donc parce que les filtres FIR doivent avoir une réponse impulsionnelle bornée, alors la réponse impulsionnelle doit être différenciable en tout point du cercle unitaire. Ainsi, le signal peut être étendu de manière cohérente afin qu'il n'y ait pas de singularités (c'est-à-dire que les pôles sont amovibles).
C'est pourquoi la transformée en z d'un filtre FIR ne contient aucun pouvoir négatif dez .
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