Calcul d'une série légèrement oscillatoire à haute précision?

13

Supposons que j'ai la fonction intéressante suivante:

F(X)=k1coskXk2(2-coskX).
Il a des propriétés désagréables, comme sa dérivée qui n'est pas continue à des multiples rationnels deπ . Je soupçonne qu'il n'existe pas de formulaire fermé.

Je peux le calculer en calculant des sommes partielles et en utilisant l'extrapolation de Richardson, mais le problème est qu'il est trop lent pour calculer la fonction avec un bon nombre de chiffres décimaux (100 serait bien, par exemple).

Existe-t-il une méthode qui peut mieux gérer cette fonction?

Voici un tracé de f(πx) avec quelques artefacts:

Dérivée de la fonction, $ f '(\ pi x) $

Kirill
la source
1
Vous pouvez peut-être utiliser le fait que , où T k ( x ) est un polynôme de Tchebychev. La sommation commence alors à ressembler à une série de polynômes rationnels. Ensuite, si vous pouvez transformer la série en un polynôme rationnel sur une base de Chebyshev, cela permettrait un moyen très efficace de le résumer. Si vous n'êtes pas familier avec les polynômes et les bases de Chebyshev, les recettes numériques en C ont une bonne introduction, ainsi que celle-ci: www2.maths.ox.ac.uk/chebfun/ATAP/ATAPfirst6chapters.pdfcos(kx)=Tk(x)Tk(x)
Jay Lemmon
1
euh, cela devrait dire cos(kx)=Tk(cos(x))
Jay Lemmon
@JayLemmon Merci pour ce lien. Je vais regarder et voir si ça aide.
Kirill
Je rejoins ce parti un peu tard, mais avez-vous essayé d'utiliser des approximants Padé, c'est-à-dire l' algorithme au lieu de l'extrapolation de Richardson? ε
Pedro
Par analogie avec le cas des intégrales hautement oscillatoires, je ne pense pas que vous serez en mesure de faire du bon travail sans une certaine connaissance de la séparation entre les parties oscillatoires et non oscillatoires. Si vous avez une telle séparation, la réponse de la série de Fourier vous donne une convergence exponentielle facile.
Geoffrey Irving

Réponses:

7

Si les techniques analytiques sont interdites mais que la structure périodique est connue, voici une approche. Soit soit périodique avec la période2π, de sorte que g(x)=jwjeijxwj=1

g(X)=cosX2-cosX
2π
g(X)=jwjejejX
Ainsi, f ( x )
wj=12π02πg(X)e-jejXX
Vous pouvez soit approximer directement les intégraleswj,soit calculer un ensemble devaleursf(x)et utiliser un DFT. Dans les deux cas, vous pouvez potentiellement appliquer une extrapolation de Richardson au résultat. Puisque dans votre cas,g(x)est analytique dans un voisinage deR, la série finale converge de façon exponentielle même sans Richardson.
F(X)=k1g(kX)kp=k11kpjwjejejkX=jwjk1(ejejX)kkp=jwjLip(ejejX)
wjF(X)g(X)R
Geoffrey Irving
la source
g(X)=cos(X)/(2-cos(X))
3

X=2πune/bune,b

F(X)=k1coskXk2(2-coskX)=k=1bcoskX2-coskXn01(k+bn)2=k=1bcoskX2-coskXψ1(k/b)b2
ψ1(z)est la fonction trigamma ( http://en.wikipedia.org/wiki/Polygamma ). Voici des tracés de la fonction et de sa dérivée avec les artefacts supprimés: Valeurs et dérivés de la série
Geoffrey Irving
la source
Je vous remercie. Le problème est que j'ai choisi cette fonction spécifique comme modèle pour une autre fonction plus compliquée que je voulais réellement évaluer, ayant des caractéristiques similaires, mais pas vraiment les mêmes. Je connais le formulaire fermé de cette question sur MSE . Je voulais dire cela comme une question de sommation numérique d'une série infinie sans forme fermée.
Kirill
Peut-être que mon autre réponse est meilleure alors?
Geoffrey Irving