Calcul d'une série légèrement oscillatoire à haute précision?

Supposons que j'ai la fonction intéressante suivante:

F (X) = \sum_{k \geq 1} \frac{\cos k X}{k^{2} (2 - \cos k X)} .

$f(x) = \sum_{k\geq1} \frac{\cos k x}{k^2(2-\cos kx)}.$ Il a des propriétés désagréables, comme sa dérivée qui n'est pas continue à des multiples rationnels de

π

$\pi$ . Je soupçonne qu'il n'existe pas de formulaire fermé.

Je peux le calculer en calculant des sommes partielles et en utilisant l'extrapolation de Richardson, mais le problème est qu'il est trop lent pour calculer la fonction avec un bon nombre de chiffres décimaux (100 serait bien, par exemple).

Existe-t-il une méthode qui peut mieux gérer cette fonction?

Voici un tracé de $f'(\pi x)$ avec quelques artefacts:

$Dérivée de la fonction, $ f '(\ pi x) $$

convergence extrapolation Kirill
la source

Vous pouvez peut-être utiliser le fait que

, où

est un polynôme de Tchebychev. La sommation commence alors à ressembler à une série de polynômes rationnels. Ensuite, si vous pouvez transformer la série en un polynôme rationnel sur une base de Chebyshev, cela permettrait un moyen très efficace de le résumer. Si vous n'êtes pas familier avec les polynômes et les bases de Chebyshev, les recettes numériques en C ont une bonne introduction, ainsi que celle-ci: www2.maths.ox.ac.uk/chebfun/ATAP/ATAPfirst6chapters.pdf

c o s (k x) = T_{k} (x)

$cos(kx) = T_k(x)$

T_{k} (x)

$T_k(x)$

Jay Lemmon

euh, cela devrait dire

c o s (k x) = T_{k} (c o s (x))

$cos(kx) = T_k(cos(x))$

Jay Lemmon

@JayLemmon Merci pour ce lien. Je vais regarder et voir si ça aide.

Kirill

Je rejoins ce parti un peu tard, mais avez-vous essayé d'utiliser des approximants Padé, c'est-à-dire l' algorithme

au lieu de l'extrapolation de Richardson?

ε

$\varepsilon$

Pedro

Par analogie avec le cas des intégrales hautement oscillatoires, je ne pense pas que vous serez en mesure de faire du bon travail sans une certaine connaissance de la séparation entre les parties oscillatoires et non oscillatoires. Si vous avez une telle séparation, la réponse de la série de Fourier vous donne une convergence exponentielle facile.

Geoffrey Irving

Réponses:

Si les techniques analytiques sont interdites mais que la structure périodique est connue, voici une approche. Soit soit périodique avec la période, de sorte que où

g (X) = \frac{\cos X}{2 - \cos X}

$g(x) = \frac{\cos x}{2-\cos x}$

2 π

$2 \pi$

g (X) = \sum_{j} w_{j} e^{je j X}

$g(x) = \sum_j w_j e^{ijx}$

Ainsi,

w_{j} = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} g (X) e^{- je j X} ré X

$w_j = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} g(x) e^{-ijx} dx$

Vous pouvez soit approximer directement les intégrales

soit calculer un ensemble devaleurs

et utiliser un DFT. Dans les deux cas, vous pouvez potentiellement appliquer une extrapolation de Richardson au résultat. Puisque dans votre cas,

est analytique dans un voisinage de

, la série finale converge de façon exponentielle même sans Richardson.

\begin{aligned} F (X) & = \sum_{k \geq 1} \frac{g (k X)}{k^{p}} \\ = \sum_{k \geq 1} \frac{1}{k^{p}} \sum_{j} w_{j} e^{je j k X} \\ = \sum_{j} w_{j} \sum_{k \geq 1} \frac{{(e^{je j X})}^{k}}{k^{p}} \\ = \sum_{j} w_{j} {Li}_{p} (e^{je j X}) \end{aligned}

$\begin{aligned} f(x) &= \sum_{k \ge 1} \frac{g(kx)}{k^p} \\ &= \sum_{k \ge 1} \frac{1}{k^p} \sum_j w_j e^{ijkx} \\ &= \sum_j w_j \sum_{k \ge 1} \frac{\left(e^{ijx}\right)^k}{k^p} \\ &= \sum_j w_j \operatorname{Li}_p(e^{ijx}) \end{aligned}$

w_{j}

$w_j$

f (x)

$f(x)$

g (x)

$g(x)$

R

$\mathbb{R}$

Geoffrey Irving
la source

g (x) = \cos (x) / (2 - \cos (x))

$g(x) = \cos(x) / (2 - \cos(x))$

$x = 2\pi a/b$ $a,b$

\begin{aligned} F (X) & = \sum_{k \geq 1} \frac{\cos k X}{k^{2} (2 - \cos k X)} \\ = \sum_{k = 1}^{b} \frac{\cos k X}{2 - \cos k X} \sum_{n \geq 0} \frac{1}{(k + b n)^{2}} \\ = \sum_{k = 1}^{b} \frac{\cos k X}{2 - \cos k X} \frac{ψ^{1} (k / b)}{b^{2}} \end{aligned}

$\begin{aligned} f(x) &= \sum_{k \ge 1} \frac{\cos {kx}}{k^2 (2 - \cos {kx})} \\ &= \sum_{k=1}^b \frac{\cos {kx}}{2-\cos {kx}} \sum_{n \ge 0} \frac{1}{(k+bn)^2} \\ &= \sum_{k=1}^b \frac{\cos {kx}}{2-\cos {kx}} \frac{\psi^1(k/b)}{b^2} \end{aligned}$ où

ψ^{1} (z)

$\psi^1(z)$ est la fonction trigamma ( http://en.wikipedia.org/wiki/Polygamma ). Voici des tracés de la fonction et de sa dérivée avec les artefacts supprimés: Valeurs et dérivés de la série

Geoffrey Irving
la source

Je vous remercie. Le problème est que j'ai choisi cette fonction spécifique comme modèle pour une autre fonction plus compliquée que je voulais réellement évaluer, ayant des caractéristiques similaires, mais pas vraiment les mêmes. Je connais le formulaire fermé de cette question sur MSE . Je voulais dire cela comme une question de sommation numérique d'une série infinie sans forme fermée.

Kirill

Peut-être que mon autre réponse est meilleure alors?

Geoffrey Irving

Qu'en est -il de la transformée en U de Levin ? En plus des codes Fortan, il existe plusieurs versions dans le GSL : `gsl_sum_levin_u * ' . Le MuPAD et Maple de Matlab utilisent ce schéma.

horchler
la source

Je l'ai essayé, mais j'ai trouvé que l'extrapolation de Richardson était plus précise.

Kirill