Analyse numérique complexe

Quelles situations d'analyse numérique deviennent plus / moins stables, ont une convergence plus rapide / plus lente, ou sont autrement assez différentes lorsqu'il s'agit de fonctions de variable complexe au lieu de fonctions d'une variable réelle?

algorithms vtt
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Votre question est juste un peu vague ... Pourriez-vous suggérer une "situation" ou un "algorithme" particulier que vous aviez en tête? Cela nous aiderait beaucoup à répondre à votre question.

Paul

Le seul cas où un nombre apparaît de complexes numerics je sais que sont les équations de Maxwell, mais il n'y a pas de difficulté intrinsèque que par quelques chiffres étant en . Pourtant, si vous remplacez tous les nombres complexes par de vrais vecteurs ou matrices, alors vous voyez que la multiplication par un nombre complexe devient la multiplication par une matrice asymétrique. Ne savez pas si cela implique quelque chose.

C

$\mathbb C$

shuhalo

@Martin: Le champ complexe est le cadre naturel des polynômes en raison du théorème fondamental de l'algèbre. Étant donné que les valeurs propres d'une matrice sont les racines de son polynôme caractéristique et sont en général complexes même pour les matrices réelles, l'algèbre linéaire est le plus naturellement construite au-dessus du champ complexe.

Jack Poulson

D'un autre côté, voyez par exemple l'algorithme QR à double décalage, qui double précisément pour contourner l'utilisation de l'arithmétique complexe. Soyez également témoin de l'algorithme quadratique Jenkins-Traub, qui a été conçu pour trouver des racines complexes de polynômes une paire conjuguée à la fois ...

Je suis un peu déchiré à ce sujet car pour ajouter encore plus de confusion au mélange, il y a des moments où les nombres complexes sont fondamentalement simplement traités comme des paires de nombres réels à des fins de comptabilité.

Geoff Oxberry

Réponses:

La différenciation numérique complexe est stable, contrairement à la différenciation numérique réelle.

Voir pages 32-33 de "Applied and Computational Complex Analysis" vol 3, Peter Henrici,

"The Complex-Step Derivative Approximation", JOAQUIM RRA MARTINS, PETER STURDZA et JUAN J. ALONSO,

et cet article de Wikipedia sur les méthodes variables complexes pour la différenciation numérique.

vtt
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De plus, l'utilisation numérique de la formule de différenciation de Cauchy est parfois un algorithme viable. Voir également les méthodes de Lyness et d'autres qui reposent sur la transformée de Fourier rapide pour calculer les coefficients de Taylor d'une fonction (c'est-à-dire évaluer une séquence de dérivées à une valeur donnée).

Par curiosité, outre l'article Wikipédia, y a-t-il des ressources en ligne que vous pourriez nous indiquer?

Geoff Oxberry

@Geoff: Ceci et cet accord avec l'approche de différenciation de Lyness; cet article de Squire et Trapp est le document original détaillant l'approche «étape complexe» de la différenciation numérique.

L'arithmétique d'intervalle complexe utilise différents types d'intervalle, par exemple rectangulaire ou circulaire, donc il y a plus à considérer que lors de l'utilisation d'intervalles réels.

"Arithmétique d'intervalles complexes et ses applications", Miodrag Petković, Ljiljana Petković

vtt
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Pourquoi répondre à votre propre question trois fois au lieu de répondre avec les trois commentaires à la fois?

Jack Poulson

Un article:

"Algorithmes numériques basés sur la théorie des variables complexes", JN Lyness - Actes de la 22e conférence nationale de 1967, 1967

vtt
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