Pourquoi épingler un point pour supprimer un espace nul est-il mauvais?

Une équation de Poisson avec toutes les conditions aux limites de Neumann a un seul espace nul dimensionnel constant. Lors de la résolution via une méthode de Krylov, l'espace nul peut être supprimé soit en soustrayant la moyenne de la solution à chaque itération, soit en épinglant la valeur d'un seul sommet.

L'épinglage d'un seul sommet présente l'avantage de la simplicité et évite également une réduction globale supplémentaire par projection. Cependant, il est généralement considéré comme mauvais en raison de son effet sur le conditionnement. Par conséquent, j'ai toujours soustrait des moyens.

Cependant, les deux méthodes diffèrent l'une de l'autre par au plus une correction de rang 2, donc selon (1) elles devraient converger dans presque le même nombre d'itérations (au moins en arithmétique exacte). Ce raisonnement est-il correct ou y a-t-il une raison supplémentaire pour laquelle le repérage de points est mauvais (peut-être une arithmétique inexacte)?

(1): Comment les modifications de bas rang affectent-elles la convergence de la méthode de Krylov?

Vos arguments s'appliquent naturellement au cas non conditionné. La raison pour laquelle je ne recommande pas l'épinglage est qu'elle confond les normes et le préconditionnement. Si vous connaissez la taille d'une valeur diagonale typique, vous pouvez mettre à l'échelle l'équation triviale pour le nœud épinglé afin que les normes redeviennent raisonnables.

Pour voir la conséquence sur le préconditionnement, nous devons faire la distinction entre les différentes méthodes d'application de l'épinglage. Je considère que deux des plus populaires.

1. Si l'épinglage est réalisé en "mettant à zéro une ligne" (en définissant une ligne égale à une ligne mise à l'échelle de l'identité), cela introduit une asymétrie qui restreint le choix de la méthode Krylov et peut confondre les préconditionneurs (par exemple, faire en sorte que les multigrilles algébriques choisissent un agrégat pauvre).
2. Si la colonne correspondante est également mise à zéro (avec la contribution "levée" vers la droite), l'effet est plutôt bénin.

Notez que les opérateurs d'interpolation pour multigrilles peuvent devoir être ajustés pour effectuer l'épinglage de manière compatible à chaque niveau. Si cela ne vous dérange pas la complexité introduite par l'implémentation de l'épinglage avec une bonne mise à l'échelle, c'est une bonne approche. Dans la plupart des cas, nous constatons qu'il est plus intrusif et sujet aux erreurs d'implémenter l'épinglage de manière non perturbatrice que de fournir l'espace presque nul. En ayant la matrice d'origine (singulière) autour, la bibliothèque de solveurs peut également vérifier que l'espace nul fourni est bien un espace nul, protégeant ainsi contre une erreur courante.