Comment les modifications de bas rang affectent-elles la convergence de la méthode Krylov?

Disons que j'ai un système linéaire , qui converge rapidement en utilisant une méthode de Krylov appropriée (comme CG ou GMRES) pour tout . Si est une matrice de faible rang , la même méthode de Krylov sur le système convergera-t-elle également rapidement (idéalement avec un nombre supplémentaire d'itérations qui dépend à peu près uniquement de )?b B r ( A + B ) x = b $A x = b$$b$$B$$r$$(A + B) x = b$$r$

Un exemple d'un tel système serait une élasticité et une flexion de membrane bien préconditionnées ainsi que des termes de pression d'air non conditionnés avec une structure de produit externe dense.

Notez que la question est la même avec ou sans préconditionnement, car est une modification de rang de .r P A $P(A + B)Q = PAQ + PBQ$$r$$PAQ$

Si votre sous-espace Krylov est basé sur les puissances de , la convergence sera retardée par un certain nombre d'itérations au plus le rang de la correction. S'il est basé sur les puissances de A T A, alors au plus le double de ce nombre.$A$$A^TA$

Je n'ai pas vu une telle déclaration dans la littérature. Mais pour voir la validité dans le premier cas, il suffit de montrer que le ème espace Krylov de la matrice A + U S V T où U , V ont r colonnes est contenu dans l'espace correspondant sans corrections de bas rang mais avec un indice k + r correspondant plus élevé . C'est simple à vérifier.$k$$A+USV^T$$U,V$$r$$k+r$