Existe-t-il des raccourcis pour les systèmes d'approximation numérique d'équations différentielles ordinaires lorsqu'ils sont autonomes?

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Les algorithmes existants pour résoudre les ODE gèrent les fonctions , oùyRn. Mais dans de nombreux systèmes physiques, l'équation différentielle est autonome, doncdydydt=f(y,t)yRn,yRn, sanst. Avec cette hypothèse simplificatrice, quelles améliorations peuvent être observées dans les méthodes numériques existantes? Par exemple, sin=1, le problème se transforme ent=dydydt=f(y)yRntn=1 et nous nous tournons vers une classe entièrement différente d'algorithmes pour intégrer les intégrales unidimensionnelles. Pourn>1, l'amélioration maximale possible consiste à réduire la dimension deyde 1, car le cas dépendant du temps peut être simulé en ajoutanttày, en changeant le domaine deydeRnàRn+1.t=dyf(y)n>1ytyyRnRn+1

tergiverser sur le travail réel
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Réponses:

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Je dirais qu'une amélioration significative est que dans le cadre des approches à pas de temps, où vous propagez ynyn+1=U(yn) utilisant une carte de solution U , vous pouvez déterminer le propagateur (ou au moins des parties de it) une fois, puis réutilisez-le à chaque pas de temps.

Par exemple, dans le cas linéaire, vous auriez ty=Ay , où A est une matrice. L'opérateur de solution U(y)=exp(AΔt)y est principalement constitué d'une exponentielle matricielle. Pour les systèmes autonomes, cette évaluation exponentielle de matrice coûteuse n'est requise qu'une seule fois pour la propagation complète - contrairement à un système dépendant du temps, où vous devez effectuer cette évaluation à chaque pas de temps.

Pour les systèmes non linéaires, ce n'est pas si simple, mais selon l'algorithme, certaines évaluations coûteuses peuvent être réutilisées.

carlosvalderrama
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