Métriques couramment utilisées pour quantifier l'irrégularité d'un maillage triangulaire

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Disons que vous avez un maillage triangulaire sur un plan plat. Cela a été établi pour éventuellement résoudre certains problèmes de mécanique, par exemple.

Un maillage de triangles équilatéraux est le meilleur dans la mesure où les distances entre les sommets et entre les centroïdes sont les mêmes partout. Cela rend les interpolations et le calcul des gradients une tâche facile et précise. Cependant, en raison des contraintes et des circonstances, il n'est pas toujours possible de travailler sur un maillage de tous les triangles équilatéraux.

Ainsi, les questions concernent un maillage d'éléments triangulaires de forme arbitraire.

Concernant les éléments de maillage individuels . Quelles mesures sont couramment utilisées pour quantifier la dissimilarité d'un triangle générique par rapport à une forme équilatérale idéale sous-jacente?

Concernant l'ensemble du maillage . Quelles métriques sont utilisées pour quantifier l'irrégularité d'un maillage de triangles arbitraires dans l'ensemble? Ces mesures doivent indiquer à quel point le maillage est brouillé.

Merci d'avoir réfléchi.

Remarque Toutes les contributions de la communauté des éléments finis ont été grandement appréciées. Pour cette question, veuillez noter que l'intérêt est de quantifier les différences uniquement dans la géométrie (triangles arbitraires vs équilatéraux). L'effet ultérieur sur les erreurs d'interpolation et de conditionnement est hors de portée. Certes, ceux-ci peuvent être perspicaces et pertinents, ils compliquent la manipulation mathématique.

XavierStuvw
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Avez-vous vérifié cette question ? Et de ce post: "Qu'est-ce qu'un bon élément fini?".
nicoguaro
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Je pense que le rapport des zones / rayons entre le cercle et le cercle pourrait fonctionner. Le rapport des valeurs propres des angles jacobien, minimum et maximum, également.
nicoguaro
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L'un des articles les plus célèbres de Shewchuck couvre ce sujet en profondeur: Qu'est-ce qu'un bon élément fini linéaire?
Paul
@nicoguaro Merci. Je ne m'intéresse pas spécialement au FEM, mais à la quantification de la différence de forme des éléments. Pourriez-vous, par exemple, donner des détails sur les rapports de rayons? Est-ce indépendant de la taille? En d'autres termes, il sera apprécié que vous puissiez lister vos options dans une réponse pour que quelqu'un d'autre puisse s'appuyer.
XavierStuvw
Vous pouvez également regarder l'angle minimum dans l'un des éléments du maillage. L'idée est que cela veut être aussi grand que possible
KyleW

Réponses:

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Comme @Nicoguaro et @Paul l'ont dit dans les commentaires de la question, il existe de nombreuses façons de faire ce genre de chose, et je ne sais pas s'il existe une seule "meilleure" approche.


D'après une étude critique de Jonathan Richard Shewchuck à Berkley, une réponse est:

entrez la description de l'image ici

Veuillez vous référer au document original (version 31/12/2002) pour la symbologie, la terminologie, les caractéristiques spéciales et éventuellement plus (par exemple les tétraèdres). Le chapitre 6 concerne les mesures de qualité. Le document lié à est la version étendue, et dans la page Web du JRS il y a aussi une version abrégée.


Personnellement, je suis fan de la métrique "volume-longueur". C'est un bon indicateur scalaire robuste de la qualité (isotrope) du simplexe et il est bon marché à calculer. En deux dimensions:

a=433Aerms2

où est la zone signée du triangle etest la longueur de l'arête quadratique moyenne. Les éléments idéaux atteignent , qui diminue vers zéro avec une distorsion accrue. Les éléments inversés avec une orientation inversée ont .Aermsa=1a<0

Pour évaluer la qualité d'une triangulation non structurée, il est typique de regarder des histogrammes de telles métriques de qualité d'élément. Il existe de nombreuses implémentations de ces choses là - bas, mais un straight-forward MATLABcode de base est à moi est ici .

En plus des scores volume-longueur, les histogrammes des angles des éléments et du degré des sommets sont également calculés par défaut.

Darren Engwirda
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Pourquoi êtes-vous fan de cette métrique? Était-ce bon pour prédire la précision des simulations que vous avez faites avec les maillages?
BrunoLevy
@BrunoLevy: Eh bien, comme simple choix "par défaut" pour les simplexes: il se généralise de manière robuste à des dimensions plus élevées, est bon marché à calculer, est numériquement bien conditionné, fournit un indicateur "enchevêtrement" re. orientation, et est un simple indicateur "uniquement géométrique", selon la question. Est-ce un bon indicateur de la qualité de la simulation? Eh bien, cela dépend de ce que vous faites! Si vous êtes intéressé par les maillages isotropes, je dirais que oui. Configurations anisotropes très dépendantes de la direction, alors non, pas directement, bien que dans de tels cas, il puisse toujours être utilisé après une transformation de coordonnées appropriée.
Darren Engwirda
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Est également fluide, vous pouvez donc l'exécuter avec une formulation lagrangienne-eulérienne implicite arbitraire. Avec un petit effort, vous pouvez le généraliser aux maillages anisotropes.
likask
@likask: Oui, bon point - cela peut être une bonne fonction de coût pour le lissage et l'optimisation du maillage.
Darren Engwirda
J'ai ajouté un extrait du travail de Shewcuck qui étend la portée de la réponse de Darren. Cela résume également plusieurs commentaires. Merci à tous les contributeurs à cet article.
XavierStuvw
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Je ne pense pas qu'il existe une réponse à cette question en général , car tout dépend de l'utilisation prévue du maillage. Par exemple, si vous faites de la dynamique des fluides computationnelle, vous voudrez peut-être avoir un maillage extrêmement anisotrope près de la couche limite. Maintenant, si vous faites de l'électromagnétisme informatique, le meilleur maillage sera probablement complètement différent.

Il existe dans la littérature de nombreuses définitions différentes d'un critère de "qualité de maillage". La plupart d'entre eux privilégieront les maillages avec des triangles aussi équilatéraux que possible. On peut également mentionner l'idée de maximiser le plus petit angle (qui est réalisé par triangulation de Delaunay pour un ensemble fixe de points). Cela est justifié par l'analyse de Jonathan Shewchuk mentionnée dans l'un des commentaires, qui relie cet angle avec le numéro de condition de la matrice de rigidité pour l'équation de Laplace discrétisée avec des éléments P1, mais encore une fois, selon l'utilisation prévue, le bon maillage de quelqu'un peut être quelqu'un pauvre maillage d'autre.

Je ne pense pas qu'il soit logique de "quantifier les différences uniquement dans la géométrie (triangles arbitraires vs triangles équilatéraux)": avant de mesurer si les triangles sont équilatéraux et de décider quelle "déviation par rapport à l'équilatéralité" est la meilleure, il faut déterminer si nous voulons des "triangles équilatéraux" et ce n'est pas toujours le cas! Tout vient de "l'interpolation et du conditionnement" que vous mentionnez. Oui, comme vous l'avez dit "cela complique la manipulation mathématique" mais sans cela, il n'est pas possible de faire la différence entre des critères objectifs pour une application donnée et des critères qui n'ont aucun sens.

BrunoLevy
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