Quel est l'état actuel de la technique dans la résolution des PDE paraboliques de dimension supérieure (équation de Schrödinger multi-électrons)

Quel est l'état actuel de la technique pour résoudre les PDE paraboliques de dimension supérieure (3-10) dans le domaine complexe avec des pôles simples (de la forme ) et absorber les conditions aux limites?$\frac{1}{|\vec{r}_1 - \vec{r}_2|}$

Plus précisément, je suis intéressé par la résolution de l'équation de Schrödinger multi-électrons:

$\left( \sum_i \sum_{j\neq i}\left[ -\frac{\nabla_i^2}{2 m} - \frac{Z_i Z_j}{|\vec{r}_i - \vec{r}_j|} + V(\vec{r}_i, t) \right]\right)\psi = -i\partial_t \psi$

Pour une molécule diatomique avec plus d'un électron.

Les solutions pour l'équation sont dans Si le nombre d'électrons est suffisamment petit, vous pouvez simplement utiliser n'importe quelle méthode traditionnelle . Comme une méthode de discrétisation de domaine (différence finie, élément fini, élément frontière) ou une méthode pseudospectrale. Puisque résoudre cette équation n'est pas plus difficile que de résoudre une équation d'onde multidimensionnelle.

Dans le cas de systèmes plus gros, une astuce est nécessaire pour obtenir la solution. Nous remplaçons l'interaction électron-électron pour l'interaction d'un électron avec un nuage d'électrons (une approximation de champ moyen du reste d'entre eux), puis résolvons de manière auto-cohérente (en raison de la non-linéarité qui provient du champ moyen terme). Cela se fait dans Hartree-Fock et la théorie fonctionnelle de la densité (DFT). Où l'équation différentielle d'origine est transformée en une formulation variationnelle.

La DFT est la méthode la plus courante de nos jours, et l'avantage est que toutes les équations sont formulées en termes de densité électronique et non en termes d'équations d'onde. Ainsi, les équations se situent dans un espace tridimensionnel. Un livre qui décrit ces deux méthodes est

• Thijssen, Jos. Physique numérique. Cambridge University Press, 2007. Lien Amazon .

Vous souhaitez résoudre pour 3 à 10 systèmes de particules (3D par particule)? Pour autant que je sache, les théories de champ moyen ne fonctionnent pas particulièrement bien pour si peu de particules, mais il semble qu'il y ait eu des travaux DFT sur les molécules diatomiques.

Est-ce un système où Born-Oppenheimer est valable? Si tel est le cas, je pourrais être enclin à étendre la fonction d'onde électronique en utilisant une combinaison linéaire de déterminants de Slater, éventuellement en utilisant une grille clairsemée ou des grilles spectrales clairsemées. Cet article pourrait peut-être aider .

Une autre option consiste à essayer d'utiliser une approche à liaison étroite, bien que le fait que vous ayez mentionné l'absorption des conditions aux limites suggère que vous pensez peut-être à des problèmes impliquant l'ionisation / la dissociation. La TB serait surtout utile si vous tentiez d'approcher des états de bas niveau.

Peut-être quelque chose comme la méthode Hartree-Fock multi-configurationnelle en fonction du temps pourrait fonctionner ici MCTDHF .

Enfin, vous pouvez regarder les méthodes quantiques de Monte Carlo. Ce sont les méthodes par lesquelles des modèles fonctionnels d'échange et de corrélation pour des atomes uniques sont obtenus pour effectuer des calculs DFT. Il semble qu'il existe des extensions poly-atomiques. (Je n'ai plus de privilèges de lien).

$M$$3M$$N$$N$$N^{3M}$$M$$N=10$$10^9$

De cette considération découle qu'il n'est pas possible de considérer le problème avec tous les électrons en même temps - vous devez vous limiter à un ou deux électrons à la fois. Cela vous conduit naturellement à des méthodes telles que la méthode Hartree Fock qui itère sur les électrons tout en gardant le reste du système fixe.

Je ne connais pas assez bien le domaine, mais imaginez qu'il existe un certain nombre d'articles de synthèse très cités et bien écrits sur le sujet.