Plusieurs boucles de contrôle avec des effets qui se chevauchent

Je suis familier avec l'utilisation du PID pour effectuer un contrôle en boucle fermée lorsqu'il y a une seule sortie et un seul signal d'erreur pour savoir si la sortie atteint le point de consigne souhaité.

Supposons cependant qu'il existe plusieurs boucles de contrôle, chacune avec une sortie et un signal d'erreur, mais les boucles ne sont pas totalement indépendantes. En particulier, lorsqu'une boucle augmente le signal de son actionneur, cela modifie l'impact de la sortie des autres boucles du système.

Pour un exemple concret, imaginez une source de tension en série avec une résistance, appliquant une tension aux bornes d'un système de six résistances réglables en parallèle. Nous pouvons mesurer le courant à travers chaque résistance et nous voulons contrôler le courant de chaque résistance indépendamment en ajustant la résistance. Bien sûr, l'astuce ici est que lorsque vous ajustez la résistance d'une résistance, cela change la résistance globale de l'ensemble parallèle, ce qui signifie qu'il modifie la chute de tension due au diviseur avec la résistance de la source de tension et modifie donc le courant à travers les autres résistances .

Maintenant, nous avons clairement un modèle idéal pour ce système, afin que nous puissions prédire quelle résistance nous devrions utiliser pour toutes les résistances simultanément en résolvant un ensemble d'équations linéaires. Cependant, tout l'intérêt du contrôle en boucle fermée est que nous voulons corriger diverses erreurs / biais inconnus dans le système qui s'écartent de notre modèle idéal. La question est alors: quelle est la bonne façon de mettre en œuvre le contrôle en boucle fermée lorsque vous avez un modèle avec ce type de couplage croisé?

Typiquement , avec un m ultiple i nput, m ultiple o utput (MIMO) système, un ingénieur de contrôle utilise un contrôleur de retour d'état . Ce style de contrôleur exploite un modèle d'espace d'état du système et prend généralement la forme:

$$\dot{x}=\mbox{A}x+\mbox{B}u \\ y = \mbox{C}x + \mbox{D}u \\ $$

où est un vecteur d'états, u est un vecteur d'entrées, y est un vecteur de sorties et la dérivée temporelle des états, ˙ x , montre comment les états évoluent dans le temps, comme déterminé par les combinaisons d'états A et d'entrées B . Les sorties sont également déterminées par une interaction entre les états et les entrées, mais les sorties peuvent être une combinaison quelconque, de sorte que les matrices d'état de sortie et d' entrée sont différents - C et D .$x$$u$$y$$\dot{x}$$\mbox{A}$$\mbox{B}$$\mbox{C}$$\mbox{D}$

Je n'entrerai pas dans une grande quantité de détails concernant les contrôles de rétroaction d'état, mais en général, les matrices "mappent" ou associent un état ou une entrée particulier à un autre état ou entrée. Par exemple, si vous voulez modéliser un système d'équations différentielles non liées, vous obtiendrez quelque chose comme:$\mbox{A} \rightarrow \mbox{D}$

$$\dot{x} = \left[ \begin{array}{ccc} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \\ \dot{x}_3 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} k_1 & 0 & 0 \\ 0 & k_2 & 0 \\ 0 & 0 & k_3 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{ccc} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right]$$ $$\dot{x}_1 = k_1 x_1 \\ \dot{x}_2 = k_2 x_2 \\ \dot{x}_3 = k_3 x_3 \\ $$

Si vous vouliez ajouter une entrée $u_1$$\dot{x}_1$$u_2$$\dot{x}_3$$\mbox{B}u$

$$\dot{x} = \left[ \begin{array}{ccc} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \\ \dot{x}_3 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} k_1 & 0 & 0 \\ 0 & k_2 & 0 \\ 0 & 0 & k_3 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{ccc} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{ccc} u_1 \\ u_2 \end{array} \right]$$

$x_1$$x_2$

$$\dot{x} = \left[ \begin{array}{ccc} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \\ \dot{x}_3 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} k_1 & 0 & 0 \\ \boxed{ k_{x_1 \rightarrow x_2} } & k_2 & 0 \\ 0 & 0 & k_3 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{ccc} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{ccc} u_1 \\ u_2 \end{array} \right]$$

Lorsque vous les écrivez maintenant, vous obtenez:

$$\begin{array} \\ \dot{x}_1 & = & k_1 x_1 + u_1 \\ \dot{x}_2 & = & k_{x_1 \rightarrow x_2}x_1 + k_2 x_2 \\ \dot{x}_3 & = & k_3 x_3 + u_2 \end{array}$$

$\mbox{A} \rightarrow \mbox{D}$$\mbox{A}$

$\mbox{A}$

Vous pouvez également évaluer le système pour voir s'il est contrôlable , ce qui signifie que vous pouvez utiliser vos entrées pour modifier tous les états d'une manière unique, et pour voir s'il est observable , ce qui signifie que vous pouvez réellement déterminer quelles sont les valeurs de la les États le sont.

$-\mbox{G}x$

$$\dot{x} = \mbox{A}x + \mbox{B}(u - \mbox{G}x) \\ y = \mbox{C}x + \mbox{D}u \\ $$

qui devient:

$$\dot{x} = \mbox{A}x - \mbox{BG}x + \mbox{B}u \\ y = \mbox{C}x + \mbox{D}u \\ $$

qui peut être réorganisé comme:

$$\dot{x} = [\mbox{A}-\mbox{BG}]x + \mbox{B}u \\ y = \mbox{C}x + \mbox{D}u \\ $$

$\mbox{A}$$\mbox{A-BG}$$\mbox{G}$

$y$$\hat{y}$$R\times I$

Comme je l'ai dit, il y a une tonne d'informations impliquées dans la modélisation des systèmes et la conception des contrôleurs de rétroaction d'état, je viens de décrire le processus général car je pense que c'est la portée que vous recherchiez avec votre question.