La sphère de Bloch peut-elle être généralisée à deux qubits?

La sphère Bloch est une belle visualisation des états de qubit unique. Mathématiquement, il peut être généralisé à n'importe quel nombre de qubits au moyen d'une hypersphère de grande dimension. Mais de telles choses ne sont pas faciles à visualiser.

Quelles tentatives ont été faites pour étendre les visualisations basées sur la sphère de Bloch à deux qubits?

Pour les états purs, il existe un moyen raisonnablement simple de créer une "sphère bloch à 2 bits" . Vous utilisez essentiellement la décomposition de Schmidt pour diviser votre état en deux cas: pas enchevêtré et complètement enchevêtré. Pour la partie non enchevêtrée, vous utilisez simplement deux sphères bloch. Et puis la partie intriquée est isomorphe à l'ensemble des rotations possibles dans l'espace 3D (la rotation est la façon dont vous traduisez les mesures sur un qubit en prédictions sur l'autre qubit). Cela vous donne une représentation avec huit paramètres réels:

1) Une valeur réelle w comprise entre 0 et 1 indiquant le poids de non-enchevêtré vs entièrement enchevêtré.

2 + 3) Le vecteur bloch unitaire non enchevêtré pour le qubit 1.

4 + 5) Le vecteur bloch unitaire non enchevêtré pour qubit 2.

6 + 7 + 8) La rotation totalement intriquée.

Voici à quoi cela ressemble si vous affichez la partie de rotation comme "où les axes XY et Z sont mappés", et en plus mettez à l'échelle les axes par w afin qu'elle s'agrandisse plus vous êtes enchevêtré:

(Le rebond au milieu est dû à une dégénérescence numérique dans mon code.)

Pour les états mixtes, j'ai eu un peu de succès en montrant l'enveloppe des vecteurs bloch prédite pour le qubit 2 étant donné toutes les mesures possibles du qubit 1. Cela ressemble à ceci:

Mais notez que a) cette représentation «enveloppe» n'est pas symétrique (l'un des qubits est le contrôle et l'autre est la cible) et b) bien qu'elle soit jolie, elle n'est pas algébriquement compacte.

Cet affichage est disponible dans la branche alternative dev-intranglement-display de Quirk. Si vous pouvez suivre les instructions de construction, vous pouvez jouer directement avec.

Comme une représentation irréductible de spin $j$ de $SU(2)$ a une dimension $2j+1$ ( $j$ est un demi-entier), tout espace de Hilbert de dimension finie peut être obtenu comme un espace de représentation de $SU(2)$ . De plus, comme toutes les représentations irréductibles de$SU(2)$ sont des produits tensoriels symétriques de la représentation de spinor fondamentale, chaque espace de Hilbert de dimension finie peut donc être considéré comme un produit tensoriel symétrique de S U ( 2 ) fondamental .$SU(2)$ espaces de représentation fondamentaux.

C'est la base de la construction de la représentation stellaire Majorana. Un état d'un qudit vivant dans un espace de Hilbert de dimension $2j+1$ peut être représenté par $2j$ points sur la sphère Bloch. Le vecteur d'état peut être reconstruit à partir des vecteurs de spin $2j$ (bidimensionnels) des $2j$ points par un produit tensoriel symétrique.

$2j+1$

$z = \tan \theta e^{i\phi}$$\theta$$\phi$

Une application de cette représentation au calcul quantique, est dans la visualisation des trajectoires donnant lieu à des phases géométriques, qui servent de portes au calcul quantique holonomique. Ces trajectoires se reflètent sous forme de trajectoires des étoiles Majorana sur les sphères de Bloch et les phases géométriques peuvent être calculées à partir des angles solides entourés par ces trajectoires. Veuillez consulter les travaux de Liu et Fu sur les phases géométriques abéliennes. Liu Roy et Stone traitent certains cas non abéliens .

Enfin, permettez-moi de remarquer qu'il existe de nombreuses représentations géométriques pertinentes pour le calcul quantique, mais elles sont multidimensionnelles et peuvent ne pas être utiles en général comme outils de visualisation. Veuillez voir par exemple Bernatska et Holod traitant des orbites coadjointes qui peuvent servir d'espaces de phase des espaces de Hilbert de dimension finie utilisés dans le calcul quantique. Le Grassmannien qui paramètre la variété d'état fondamental des Hamiltoniens adiabatiques quantiques est un exemple particulier de ces espaces.

Pour une visualisation à plus d'un qubit, nous aurons besoin de visualisations plus complexes qu'une sphère de Bloch. La réponse ci-dessous de Physics Stack Exchange explique ce concept avec autorité:

Sphère Bloch pour 2 qubits et plus

Dans un autre article, la représentation à deux qubits est décrite comme une sphère à sept dimensions, S 7, qui permet également une fibration de Hopf, avec des fibres S 3 et une base S 4. Le résultat le plus frappant est que les fibrations S 7 Hopf convenablement orientées sont sensibles à l'intrication.

Géométrie des états intriqués, sphères de Bloch et fibrations de Hopf

Cela dit, une approche basée sur la sphère de Bloch est très utile même pour modéliser le comportement des qubits dans un environnement bruyant. Il y a eu une analyse du système à deux qubits en utilisant le vecteur Bloch généralisé pour générer des équations analytiques traitables pour la dynamique des vecteurs Bloch à quatre niveaux. Ceci est basé sur l'application de concepts géométriques de la sphère Bloch à deux niveaux bien connue.

On peut constater qu'en présence de bruit corrélé ou anti-corrélé, le taux de décohérence est très sensible à l'état initial à deux qubits, ainsi qu'à la symétrie de l'hamiltonien. En l'absence de symétrie dans l'hamiltonien, les corrélations n'affectent que faiblement le taux de décohérence:

Approche bloch-sphère du bruit corrélé dans les qubits couplés

Il existe un autre article de recherche intéressant sur la représentation de l'état pur à deux qubits paramétré par trois sphères unitaires 2 et un facteur de phase. Pour les états séparables, deux des trois sphères unitaires sont les sphères de Bloch de chaque qubit avec les coordonnées (A , A) et (B, B). La troisième sphère paramètre le degré et la phase de concurrence, une mesure d'intrication.

Cette sphère peut être considérée comme une unité imaginaire complexe «variable» où la projection stéréographique met en correspondance la sphère Bloch qubit-A avec un plan complexe avec cette unité imaginaire variable. Ce modèle de sphère de Bloch donne une description cohérente des états purs à deux qubits pour les états séparables et intriqués.

Selon cette hypothèse, la troisième sphère (sphère d'intrication) paramètre les propriétés non locales, l'intrication et une phase relative non locale, tandis que les phases relatives locales sont paramétrées par les angles azimutaux, A et B, des deux sphères quasi-Bloch.

Modèle de sphère de Bloch pour deux

Nous avons quelques visualisations multi-bits dans le package Black Opal de Q-CTRL .

Ils sont tous entièrement interactifs et sont conçus pour aider à construire une intuition sur les corrélations dans les systèmes à deux qubits en interaction.

Les deux sphères de Bloch représentent les états séparables pertinents de deux qubits. Les tétraèdres du milieu capturent visuellement les corrélations entre certaines projections des deux qubits. Lorsqu'il n'y a pas d'enchevêtrement, les vecteurs Bloch vivent entièrement sur les surfaces des sphères respectives. Cependant, un état totalement intriqué vit exclusivement dans l'espace des corrélations de cette représentation. Les extrêmes de ces espaces seront toujours des états enchevêtrés au maximum comme les états de Bell, mais les états enchevêtrés au maximum peuvent également résider dans plusieurs tétraèdres simultanément.

Un article a été publié sur le sujet, intitulé "Modèle de sphère de Bloch pour les états purs à deux qubits"

https://arxiv.org/abs/1403.8069