Existe-t-il une règle simple pour l'inverse de la table de stabilisation d'un circuit de Clifford?

Dans Improved Simulation of Stabilizer Circuits par Aaronson et Gottesman, il est expliqué comment calculer un tableau décrivant les produits de tenseur de Pauli auxquels les X et Z observables de chaque qubit sont mappés lorsqu'un circuit de Clifford agit sur eux.

Voici un exemple de circuit de Clifford:

0: -------@-----------X---
          |           |
1: ---@---|---@---@---@---
      |   |   |   |
2: ---|---|---@---|-------
      |   |       |
3: ---@---@-------Y-------

Et le tableau décrivant comment il agit sur les observables X et Z de chaque qubit:

       +---------------------+-
       | 0    1    2    3    |
+------+---------------------+-
| 0    | XZ   X_   __   Z_   |
| 1    | ZZ   YZ   Z_   ZZ   |
| 2    | __   Z_   XZ   __   |
| 3    | Z_   X_   __   XZ   |
+------+---------------------+-
| sign |  ++   ++   ++   ++  |
+------+---------------------+-

Chaque colonne du tableau décrit comment le circuit agit sur l'observable X (moitié gauche de la colonne) et Z observable (la moitié droite de la colonne) de chaque qubit. Par exemple, le côté gauche de la colonne 3 est Z, Z, _, X, ce qui signifie qu'une opération X3 (Pauli X sur le qubit 3) sur le côté droit du circuit équivaut à une opération Z1 * Z2 * X4 sur la main gauche côté du circuit. La ligne «signe» indique le signe du produit, ce qui est important si vous allez simuler une mesure (il vous indique si vous souhaitez inverser le résultat).

Vous pouvez également calculer le tableau pour l'inverse d'un circuit. Dans l'exemple de cas que j'ai donné, le tableau inverse est le suivant:

       +---------------------+-
       | 0    1    2    3    |
+------+---------------------+-
| 0    | XZ   Y_   __   Z_   |
| 1    | _Z   YZ   Z_   _Z   |
| 2    | __   Z_   XZ   __   |
| 3    | Z_   Y_   __   XZ   |
+------+---------------------+-
| sign |  ++   -+   ++   ++  |
+------+---------------------+-

Les tableaux se ressemblent presque si vous transposez leurs lignes et colonnes. Mais les entrées ne sont pas exactement identiques. En plus de la transposition, vous devez encoder les lettres en bits ( _= 00, X= 01, Z= 10, Y= 11) puis échanger les bits du milieu puis décoder. Par exemple, ZZ code en 1010 qui passe en 1100 qui décode en Y_.

Ma question est la suivante: existe-t-il également une règle simple pour calculer les signes du tableau inverse?

Actuellement, j'inverse ces tableaux en les décomposant en circuits, en inversant les circuits, puis en les multipliant. C'est extrêmement inefficace par rapport à transposer + remplacer, mais si je veux utiliser transposer + remplacer, j'ai besoin d'une règle de signe.

pauli-gates clifford-group Craig Gidney
la source

Pour clarifier la question suivante : Que le circuit Clifford soit

. La lecture de la

ième colonne donne alors

selon la moitié gauche ou droite utilisée. Et vous voulez plutôt

à partir de ces données.

U

$U$

j

$j$

U X_{j} U^{†}

$U X_j U^\dagger$

U Z_{j} U^{†}

$U Z_j U^\dagger$

U^{†} X_{j} U

$U^\dagger X_j U$

U^{†} Z_{j} U

$U^\dagger Z_j U$

AHusain

@AHusain Correct.

Craig Gidney, le

Pour clarifier la question: que signifient les @ s dans votre circuit de Clifford?

Josu Etxezarreta Martinez

@JosuEtxezarretaMartinez Ce sont des contrôles. Lorsque deux sont connectés, c'est une porte CZ. @ connecté à un X est un X contrôlé. @ connecté à Y est un Y contrôlé.

Craig Gidney, le

Réponses:

Il y a une représentation très proche de la représentation du tableau d'Aaronson (et Gottesman) , qui fonctionne non seulement pour les qubits mais pour les qudits de dimension finie arbitraire, qui fonctionne particulièrement bien pour les circuits purement Clifford ( c'est- à- dire au plus une mesure terminale).

Dans cette représentation alternative, on a des tableaux décrivant comment les opérateurs X et Z à qubit unique se transforment, avec des informations de phase, comme dans la représentation habituelle. Les colonnes décrivent spécifiquement les opérateurs Weyl multi-qubit, qui sont un sous-ensemble spécial des opérateurs Pauli. L'avantage de le faire est que le tableau n'est pas seulement un tableau de coefficients, mais un opérateur linéaire réel sur les vecteurs qui représentent les opérateurs et les phases de Weyl.

Il y a un petit hic. Pour les qubits, ces vecteurs ont des coefficients qui sont des entiers modulo 4 (correspondant à une double couverture des opérateurs Pauli à un seul qubit non triviaux par les opérateurs Weyl), plutôt que modulo 2. Je pense que c'est un petit prix à payer - bien que je peut être légèrement biaisé, car c'est mon propre résultat [ arXiv: 1102.3354 ]. Cependant, cela semble être une représentation quelque peu «naturelle»: Appleby a développé le cas spécial single-qubit ou qudit un peu plus tôt [ arXiv: quant-ph / 0412001 ] (quelque chose que j'aurais vraiment aimé savoir avant de passer deux ans recréant inutilement essentiellement les mêmes conventions).

En utilisant une telle représentation, du fait que le «tableau» $M_C$ d'un circuit de Clifford $C$ est désormais une matrice réelle (et inversible) qui transforme des vecteurs, le tableau du circuit inverse $C^{\dagger}$ est alors l'inverse $M_C^{-1}$ du tableau. Ainsi, pour cette représentation étroitement liée au moins, la règle de calcul du tableau pour le circuit inverse est facile.

Niel de Beaudrap
la source

Pourriez-vous créer un lien vers des diapositives ou des notes de cours décrivant les opérateurs Weyl?

Craig Gidney

Est-ce lié de quelque façon que ce soit au remplacement de la "base Pauli" {I, X, Y, Z} par la "base quaternion" {I, iX, iY, iZ} lors du suivi des vecteurs de produits?

Craig Gidney

Vraisemblablement quand on parle de qubits, le papier original est celui- ci

DaftWullie

W_{a, b} = i^{- (a \codt b)} Z_{a} X_{b}

$W_{\mathbf a,\mathbf b}=i^{-(\mathbf a\codt\mathbf b)}Z_{\mathbf a}X_{\mathbf b}$

a, b \in Z_{4}^{n}

$\mathbf a,\mathbf b\in\mathbb Z^n_4$

Niel de Beaudrap

@DaftWullie: Non, [arXiv: quant-ph / 9608006 ] est strictement différent. Ils indexent les puissances de X et Z par des vecteurs mod 2 (voir le texte précédant Eq.2), ce qui se reflète dans la structure des groupes additifs de GF (4). Leurs observations sur les transformations symplectiques en p.8 s'appliquent donc aux phases modulo du groupe de Pauli. Appleby et moi ne prétendons pas être les premiers à avoir une représentation de fantaisie pour le groupe Pauli sur qubits: le fait est que notre représentation suit plus gracieusement les phases. C'est moins important pour découvrir les QECC, mais crucial pour simuler des états.

Niel de Beaudrap

$2N$ $N$ $N$ $N$ $X$ $X_1Z_2$ $N=2$ $8\times 8$

M = (\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}),

$M=\left(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}\right),$

N \times N

$N\times N$

(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}) \cdot (\begin{array}{cc} 0 & I \\ I & 0 \end{array}) \cdot {(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array})}^{T} \equiv 0 mod 2

$\left(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{cc} 0 & \mathbb{I} \\ \mathbb{I} & 0 \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}\right)^T\equiv 0\text{ mod }2$

M

$M$

(\begin{array}{cc} D^{T} & B^{T} \\ C^{T} & A^{T} \end{array})

$\left(\begin{array}{cc} D^T & B^T \\ C^T & A^T \end{array}\right)$

2 \times 2

$2\times 2$

Le désordre, bien sûr, vient du suivi des phases. Je suppose que les signes seront liés à un changement du nombre d'opérateurs Y dans chaque stabilisateur, mais je n'ai pas réussi à un traitement unifié. La réponse de Niel réussit probablement mieux à s'en occuper automatiquement.

DaftWullie
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