Simuler l'évolution hamiltonienne

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J'essaie de comprendre comment simuler l'évolution des qubits sous l'interaction des hamiltoniens avec des termes écrits comme un produit tensoriel des matrices de Pauli dans un ordinateur quantique. J'ai trouvé l'astuce suivante dans le livre de Nielsen et Chuang qui est expliqué dans ce post pour un hamiltonien de la forme

H = Z_{1} \otimes Z_{2} \otimes . . . \otimes Z_{n}

$H = Z_1 \otimes Z_2 \otimes ... \otimes Z_n$ .

Mais il n'est pas expliqué en détail comment la simulation pour un hamiltonien avec des termes incluant les matrices de Pauli $X$ ou $Y$ fonctionnerait. Je comprends que vous pouvez transformer ces Pauli en Z en considérant que $HZH = X$ où $H$ est la porte Hadamard et également $S^{\dagger}HZHS =Y$ où $S$ est la porte de la phase $i$ . Comment dois-je l'utiliser exactement pour implémenter par exemple

H = X \otimes Oui

$H= X \otimes Y$

Et si maintenant l'hamiltonien contenait la somme des termes avec les matrices de Pauli? Par exemple

H = X_{1} \otimes Y_{2} + Z_{2} \otimes Y_{3}

$H = X_1 \otimes Y_2 + Z_2 \otimes Y_3$

hamiltonian-simulation nielsen-and-chuang pauli-gates Pam
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Disons que vous avez un hamiltonien de la forme

H = σ_{1} \otimes σ_{2} \otimes σ_{2} \otimes \dots \otimes σ_{n}

$H=\sigma_1\otimes\sigma_2\otimes\sigma_2\otimes\ldots\otimes\sigma_n$ Il existe une construction de circuit simple qui vous permet de mettre en œuvre son évolution temporelle

e^{- i H t}

$e^{-iHt}$ . L'astuce consiste essentiellement à décomposer l'état que vous êtes en pleine évolution dans les composants qui sont dans les

\pm 1

$\pm 1$ espaces propres de

H

$H$ . Ensuite, vous appliquez la phase

e^{- i t}

$e^{-it}$ à l' espace

+ 1

$+1$ , et la phase

e^{- i t}

$e^{-it}$ à

- 1

$-1$ eigenspace. Le circuit suivant fait ce travail (et calcule la décomposition à la fin).

Je suppose que l'élément de porte de phase au milieu applique l'unité

(\begin{array}{cc} e^{je t} & 0 \\ 0 & e^{- je t} \end{array}) .

$\left(\begin{array}{cc} e^{it} & 0 \\ 0 & e^{-it} \end{array}\right).$

En général, si vous voulez faire évoluer un hamiltonien $H=H_1+H_2$ où $H_1$ et $H_2$ sont de la forme précédente, alors de loin la plus simple est de décomposer l'évolution en

e^{- je H t} \approx {(e^{- je H_{1} t / M} e^{- je H_{2} t / M})}^{M}

$e^{-iHt}\approx \left(e^{-iH_1t/M}e^{-iH_2t/M}\right)^M$ pour certains grands

M

$M$ (bien qu'il existe des algorithmes avec un comportement de mise à l'échelle bien meilleur), et chacune de ces petites étapes

e^{- i H_{1} t / M}

$e^{-iH_1t/M}$ peut être implémenté avec le circuit précédent.

Cela dit, il y a parfois des choses plus intelligentes que vous pouvez faire. Votre exemple supplémentaire,

H = X \otimes Oui \otimes je + Z \otimes je \otimes Oui

$H=X\otimes Y\otimes\mathbb{I}+Z\otimes\mathbb{I}\otimes Y$ est un exemple. Je commencerais par appliquer la rotation unitaire

U = \frac{Z + Y}{\sqrt{2}}

$U=\frac{Z+Y}{\sqrt{2}}$ à qubits 2 et 3. Ceci équivaut à la grille Hadamard, mais convertit

Y

$Y$ en

Z

$Z$ place de

X

$X$ . Maintenant, arrêtez-vous un instant et réfléchissez. Si les qubits 2 et 3 sont en 00, alors nous appliquons

(X + Z)

$(X+Z)$ au qubit 1. Pour 01, c'est

(X - Z)

$(X-Z)$ , pour 10 c'est

(Z - X)

$(Z-X)$ , et pour 11 c'est

- (X + Z)

$-(X+Z)$ . Ensuite, appliquons le contrôle non du qubit 2 au qubit 3. Cela permute juste légèrement les éléments de base. Il dit maintenant que nous devons appliquer le hamiltonien

(- 1)^{X_{2}} (X + (- 1)^{X_{3}} Z)

$(-1)^{x_2}(X+(-1)^{x_3}Z)$ à l'état du qubit 1, si les qubits 2 et 3 sont dans les états

x_{2} x_{3}

$x_2x_3$ . Ensuite, rappelez-vous que

X + Z = \sqrt{2} H

$X+Z=\sqrt{2}H$ (Hadamard, pas hamiltonien), et que

X \sqrt{2} H X = X - Z

$X\sqrt{2}HX=X-Z$ . Donc, cela nous donne un moyen facile de convertir entre les deux bits de Hamiltonian. Nous allons simplement remplacer ces deux

X

$X$ par des non contrôlés contrôlés par le qubit 3. De même, nous pouvons utiliser une identité de circuit

où cette fois nous remplacerons les

X

$X$ par des non contrôlés contrôlés par le qubit 2.

Dans l'ensemble, je pense que la simulation semble être compliquée, mais il n'y a pas de fractionnement en petits pas de temps qui accumulent des erreurs au fur et à mesure. Cela ne s'appliquera pas très souvent, mais cela vaut la peine d'être conscient de ce genre de possibilités.

DaftWullie
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Que signifie le facteur racine carrée avec un point - une porte?

Enrique Segura

@EnriqueSegura exactement le même que l'autre dont vous venez de parler: une porte de phase avec l'angle de rotation étiqueté.

DaftWullie

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$H$ $H=UDU^\dagger$ $e^{it H} = U e^{it D} U^\dagger$

$H = \sigma_1\otimes\cdots\otimes \sigma_n$ $\sigma_i \neq I$ $i$ $H$

H = (σ_{1}^{'} \otimes \dots \otimes σ_{n}^{'}) Z \otimes \cdot \otimes Z (σ_{1}^{'} \otimes \dots \otimes σ_{n}^{'})

$H = (\sigma'_1\otimes\cdots\otimes \sigma'_n) Z\otimes\cdot\otimes Z (\sigma'_1\otimes\cdots\otimes \sigma'_n)$

Par conséquent:

e^{je t H} = (σ_{1}^{'} \otimes \dots \otimes σ_{n}^{'}) e^{je t Z \otimes \cdot \otimes Z} (σ_{1}^{'} \otimes \dots \otimes σ_{n}^{'})

$e^{it H} = (\sigma'_1\otimes\cdots\otimes \sigma'_n) e^{it Z\otimes\cdot\otimes Z} (\sigma'_1\otimes\cdots\otimes \sigma'_n)$

$e^{it Z\otimes Z}$

Si l'hamiltonien est une somme de produits de Pauli, il n'y a pas de solution simple générale, mais vous pouvez utiliser la formule de produit de Lie tronquée à un grand nombre de termes pour la réduire au problème ci-dessus.

John
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$e^{-\Delta t H}$

George
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