Comment construire un Z contrôlé multi-qubit à partir de portes élémentaires?

Pour la mise en œuvre d'un certain algorithme quantique, j'ai besoin de construire une porte Z contrôlée multi-qubit (dans ce cas, trois qubit) à partir d'un ensemble de portes élémentaires, comme le montre la figure ci-dessous. .

Les portes que je peux utiliser sont

• les portes Pauli et toutes leurs puissances (ie toutes les rotations Pauli jusqu'à un facteur de phase),$\rm X, Y, Z$
• | 11 ⟩ ⟨ 11 ${\rm exp}(i\theta|11\rangle\langle11|)$ (rotation autour de projecteur),$|11\rangle\langle11|$
• $\rm H$ (Hadamard),
• $\rm C_X$ (contrôle X à un seul qubit ou CNOT),
• $\rm C_Z$ (Z contrôlé par un seul qubit), et
• $\rm S$ (SWAP).

Comment puis-je construire ce Z à trois qubits contrôlés à partir de ces portes? J'ai lu plusieurs articles sur les décompositions de circuits, mais aucun d'eux n'a pu me donner une réponse claire et concise.

(EDIT: Amélioré à 14 CNOT.)

Cela peut être fait avec 14 CNOT, plus 15 rotations Z à un seul qubit et aucun qubits auxiliaires.

Le circuit correspondant est

où les $\fbox{$\pm$}$ portes sont des rotations

Dérivation:

En utilisant la procédure décrite dans https://arxiv.org/abs/quant-ph/0303063 ¹ , toute porte diagonale - toute donc en particulier la porte CCCZ - peut être décomposée en termes par exemple de CNOT et de portes diagonales à un qubit, où les CNOT peuvent être optimisés par eux-mêmes en suivant une procédure d'optimisation classique.

La référence fournit un circuit utilisant 16 CNOT pour des portes arbitraires diagonales à 4 qubits (Fig. 4).

Cela peut être amélioré si des paires arbitraires de qubits peuvent être couplées à 14 qubits. Pour les voisins les plus proches avec des conditions aux limites périodiques (ouvertes), cela peut être fait avec 16 (18) CNOT. Les circuits correspondants peuvent être trouvés dans https://epub.uni-regensburg.de/1511/ ¹ , Fig. 5.2, 5.4 et 5.5, et peuvent par exemple être obtenus en utilisant des méthodes pour construire de courtes séquences de Gray.

Le nombre de portes à un qubit est toujours de 15.

$\bigoplus_{i\in I}x_i$$I\subset\{1,2,3,4\}$

Notez également que cette construction ne doit en aucun cas être optimale.

^{1 Remarque: je suis un auteur}

$n$$U$$U$$Z$

Voici une construction CCCZ qui utilise 29 portes :

Si vous êtes autorisé à utiliser la mesure et la rétroaction classique, le nombre de portes peut être réduit à 25 :

(Les portes Hadamard peuvent être remplacées par des racines carrées de Y si nécessaire pour respecter la contrainte de jeu de portes.)

Et si vous me permettez d'effectuer des portes S contrôlées et des portes sqrt (X) contrôlées et d'effectuer des mesures de base X, je peux le réduire à 10 portes au total :

Je poste ici une autre décomposition de CCCZ juste au cas où cela serait utile pour quiconque essaie de compiler CCCZ. Il nécessite un plus petit nombre de portes au total, et seulement 1 qubit auxiliaire au lieu de 2, mais cinq portes à 2 qubit de plus que la réponse "évidente", donc peut être en fait pire pour la mise en œuvre sur le matériel.

Il a été suggéré par l'utilisateur @Rob dans ce commentaire: Compilation automatique des circuits quantiques , et provient de cet article .

$(\chi)$

$n=5$$\chi_{ij}=\chi$

$T$$Z^{1/4}$

$T$$|1\rangle$$HXTXT^\dagger XTXT^\dagger H$$XT^\dagger X=Te^{-i\pi/4}$$-iHT^4H=-iX$$Z^{1/4}$$XZ^{-1/4}X=Z^{1/4}$

Notez également que les deux portes Toffoli ne sont que Toffoli car elles ciblent l'état 0. Généralement, vous auriez besoin d'une porte supplémentaire à deux qubits.

Je n'ai pas trouvé une construction aussi efficace dans la littérature existante, bien que cet article revendique une construction utilisant seulement 11 portes à 2 qubits, mais je n'ai pas fait un compte de porte complet une fois qu'il est converti en jeu de portes restreint de la question.

Alors que mon autre réponse est la manière la plus évidente de "manuel" (en utilisant la décomposition CCCZ de Nielsen & Chaung en CCNOTs , puis une autre décomposition de manuel pour compiler les CCNOTs ), une manière plus créative pourrait nous permettre de faire le travail avec moins de portes.

Étape 1:

Remplacez tous les CNOT du circuit de Nielsen & Chuang par ce gadget:

Étape 2:

Nous avons maintenant un tas de CCZ au lieu de CCNOT, et ils peuvent être décomposés comme ceci (avec la permission de ce document ):

Étape 3:

$H^2 = I$