La porte conditionnelle effondre-t-elle la superposition du contrôleur?

J'ai créé un circuit simple dans Q-Kit pour comprendre les portes conditionnelles et les états de sortie à chaque étape:

1. Au début, il y a un état 00 clair, qui est l'entrée
2. Le premier qubit passe par la porte Hadamard, il se superpose, 00 et 10 deviennent également possibles
3. Le premier quot CNOTs le second, la probabilité de 00 est inchangée, mais 10 et 11 sont échangés
4. Le premier qubit passe à nouveau Hadamard et la probabilité de 00 est divisée entre 00 et 10, et 11 entre 01 et 11 comme si le premier qubit passait en superposition à partir d'un état fixe

Le résultat ne devrait-il pas être réparti également 00 et 01? Le premier qubit passe Hadamard deux fois, ce qui devrait le mettre en superposition et revenir au 0 initial. La porte CNOT n'affecte pas le qubit du contrôleur, donc son existence ne devrait pas du tout affecter le premier qubit, mais en fait elle le fait agir comme si elle n'était pas plus en superposition. L'utilisation de qubit comme contrôleur réduit-elle sa superposition?

$$\begin{eqnarray*} \mid 0 0 \rangle &\to& \frac{1}{\sqrt{2}} \mid 0 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \mid 1 0 \rangle\\ &\to& \frac{1}{\sqrt{2}} \mid 0 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \mid 1 1 \rangle\\ &\to& \frac{1}{\sqrt{4}} \mid 0 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{4}} \mid 1 1 \rangle + \frac{1}{\sqrt{4}} \mid 1 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{4}} \mid 0 1 \rangle \end{eqnarray*}$$

Si la deuxième ligne était $(\frac{1}{\sqrt{2}} \mid 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \mid 1 \rangle) \otimes v$, puis en appliquant le $H$ encore une fois le porterait à $\mid 0 \rangle \otimes v$, mais ce n'est pas. Ils sont empêtrés.

Il semble que vous pensiez que le premier qubit n'est pas affecté par le CNOT, donc les deux derniers devraient faire la navette.

$$\begin{eqnarray*} H_1 CNOT_{12} &=& \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}\\ CNOT_{12} H_1 &=& \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & -1\\ 1 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}\\ \end{eqnarray*}$$

Il est en superposition, tout le temps. Il n'y a pas eu d'effondrement. C'est une non-commutation non évidente. Si tu avais$Id \otimes U$, ce serait quelque chose qui n'affecterait pas littéralement le premier qubit et cela ferait la navette avec $H_1$. Mais CNOT n'est pas de cette forme.

Vous pouvez y penser de cette façon au début, vous avez 2 qubits. Après avoir appliqué le premier$H$vous avez encore 2 qubits. Ensuite, après le CNOT, ils sont enchevêtrés de sorte que vous avez 1 qudit avec$d=4$parce qu'ils ont été combinés. Puis le dernier$H$ laisse avec $d=4$. À chaque porte, vous faites le pire des cas de la structure d'enchevêtrement.

Non, l'utilisation d'un portail contrôlé ne mesure pas le contrôle.

Dans un sens, l'idée que les portes contrôlées seraient implémentées via la mesure est exactement à l'envers. C'est la mesure qui est mise en œuvre en termes de portes contrôlées, et non l'inverse. Une mesure n'est qu'une interaction (c'est-à-dire une porte contrôlée) entre l'ordinateur et l'environnement qui est impossible à annuler.

Comme analogie plus simple, considérons la porte Z. La porte Z applique un facteur de phase -1 à la$|1\rangle$état d'un qubit. Il envoie$a|0\rangle + b|1\rangle$ à $a|0\rangle - b |1\rangle$. On pourrait décrire cet effet de manière conditionnelle: si le qubit est dans le$|1\rangle$état, puis la porte Z met en phase le qubit de -1. Mais le «si» dans cette description ne signifie pas que nous devions mesurer le qubit et ensuite décider d'appliquer ou non le facteur de phase -1, c'est juste une description légèrement trompeuse.

La même idée s'applique au CNOT. Oui, vous pouvez le décrire de manière si-alors. Mais vous pouvez également le décrire comme «appliquer un facteur de phase -1 à la$|1\rangle \otimes |-\rangle$ état ". Et cette dernière description montre clairement que la mesure n'est pas nécessaire.

1. Au début, il y a un état 00 clair, qui est l'entrée
2. Le premier qubit passe par la porte Hadamard, il se superpose, 00 et 10 deviennent également possibles

Correct.

3. Le premier quot CNOTs le second, la probabilité de 00 est inchangée, mais 10 et 11 sont échangés

Pour être précis, 10 devient 11.

4. Le premier qubit passe à nouveau Hadamard et la probabilité de 01 est divisée entre 01 et 11, et 11 entre 01 et 11 comme si le premier qubit passait en superposition à partir d'un état fixe

Incorrect. Il n'y a pas de 01 ici, seulement 00 et 11 , et après avoir appliqué Hadamard au premier qubit, vous avez une superposition de 4 états: 00 , 10 , 11 et 01 ,

$$\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|11\rangle)\rightarrow\frac{1}{2}(|00\rangle+|10\rangle+|01\rangle-|11\rangle)$$