^{Remarque sur le vocabulaire: le mot "hamiltonien" est utilisé dans cette question pour parler des matrices hermitiennes.}

L'algorithme HHL semble être un sujet de recherche actif dans le domaine de l'informatique quantique, principalement parce qu'il résout un problème très important qui est de trouver la solution d'un système linéaire d'équations.

Selon l' algorithme Quantum original pour résoudre les systèmes linéaires d'équations (Harrow, Hassidim & Lloyd, 2009) et quelques questions posées sur ce site

• Estimation de phase quantique et algorithme HHL - connaissances sur les valeurs propres requises?
• Algorithme quantique pour les systèmes linéaires d'équations (HHL09): Étape 2 - Préparation des états initiaux et$\vert \Psi_0 \rangle$$\vert b \rangle$

l'algorithme HHL est limité à certains cas spécifiques. Voici un résumé (qui peut être incomplet!) Des caractéristiques de l'algorithme HHL:

Algorithme HHL

L'algorithme HHL résout un système linéaire d'équation avec les limitations suivantes:

Limitations sur :$A$

• $A$ doit être hermitien (et seule la matrice hermitienne fonctionne, voircette discussion dans le chat).
• valeurs propres de besoins d'être en(voirestimation de phase quantique etalgorithme HHL - connaissances survaleurs propres requis?)$A$$[0,1)$
• doit être mis en œuvre efficacement. Pour le moment, les seules matrices connues qui satisfont à cette propriété sont: $e^{iAt}$
  • hamiltoniens locaux (voir Universal Quantum Simulators (Lloyd, 1996) ).
  • -sparse hamiltonians (voirAdiabatic Quantum State Generation and Statistical Zero Knowledge (Aharonov & Ta-Shma, 2003)).$s$

Limitations sur :$\vert b \rangle$

• devrait être efficace préparable. C'est le cas pour: $\vert b \rangle$
  1. Expressions spécifiques de . Par exemple, l'état | b ⟩ = n ⨂ i = 0 ( | 0 ⟩ + | 1 $\vert b \rangle$ est efficacement préparable. $$\vert b \rangle = \bigotimes_{i=0}^{n} \left( \frac{\vert 0 \rangle + \vert 1 \rangle}{\sqrt{2}} \right)$$
  2. représentant la discrétisation d'une distribution de probabilité efficacement intégrable (voirCréationsuperpositions qui correspondent àdistributions de probabilité efficacement intégrables (Grover & Rudolph, 2002)).$\vert b \rangle$

Limitations sur (sortie):$\vert x \rangle$

• ne peut pas être récupéré entièrement parmesure. Les seules informations dont nous pouvons récupérer | x ⟩ est une « information générale » ( « valeur attendue » est le terme employé dans le document HHLorigine) tels que ⟨ x | M | x $\vert x \rangle$$\vert x \rangle$ $$\langle x\vert M\vert x \rangle$$

Question: Compte tenu de toutes ces limitations et en imaginant que nous sommes en 2050 (ou peut-être en 2025, qui sait?) Avec des puces quantiques à grande échelle tolérantes aux pannes (c'est-à-dire que nous ne sommes pas limités par le matériel), quels problèmes du monde réel l'algorithme HHL pourrait-il résoudre (y compris les problèmes où HHL n'est utilisé que comme sous-programme)?

Je connais l'article Analyse des ressources concrètes de l'algorithme du système linéaire quantique utilisé pour calculer la section efficace de diffusion électromagnétique d'une cible 2D (Scherer, Valiron, Mau, Alexander, van den Berg & Chapuran, 2016) et la mise en œuvre correspondante dans le langage de programmation Quipper et je recherche d'autres exemples concrets où HHL serait applicable dans la pratique. Je n'ai pas besoin d'un article publié, pas même d'un article non publié, je veux juste avoir quelques exemples de cas d'utilisation réels .

ÉDITER:

Même si je suis intéressé par chaque cas d'utilisation, je préférerais quelques exemples où HHL est directement utilisé, c'est-à-dire non utilisé comme sous-programme d'un autre algorithme.

Je m'intéresse encore plus aux exemples de systèmes linéaires résultant de la discrétisation d'un opérateur différentiel qui pourraient être résolus avec HHL.

Mais permettez-moi de souligner une fois de plus que je suis intéressé par tous les cas d'utilisation (sous-programmes ou non) que vous connaissez .

Il y a quelques années, Montanaro et Pallister ont montré dans les algorithmes quantiques et la méthode des éléments finis que l'algorithme HHL pouvait être appliqué à la méthode des éléments finis (FEM) qui est une "technique permettant de trouver efficacement des approximations numériques des solutions de la valeur limite (BVP) pour les équations aux dérivées partielles, basées sur la discrétisation de l'espace des paramètres via un maillage fini " .

Ils ont montré que dans ce contexte, HHL pouvait être utilisé pour atteindre (peut-être tout au plus) une accélération polynomiale par rapport à l'algorithme classique standard (la "méthode du gradient conjugué").

En ce qui concerne les cas d'utilisation du monde réel, ils affirment que

$n$

$A$

Rebentrost et al. a récemment utilisé l'algorithme HHL09 dans son article A Quantum Hopfield Neural Network (2018) , pour l'optimisation de la fonction énergétique du réseau Hopfield .

$E = -\frac{1}{2}x^{T}Wx + \theta^Tx$$Px - x^{\text{(inc)}} = 0$

En bref, je crois qu'une fois que nous aurons des ordinateurs quantiques avec un nombre suffisamment important de qubits et de temps de décohérence, l'algorithme HHL sera l'un des sous-programmes les plus utiles pour tout algorithme d'apprentissage automatique quantique (car presque tous les apprentissages automatiques et les réseaux de neurones les algorithmes impliquent une certaine forme de «descente de gradient» ou «optimisation»).