Tous les codes quantiques

Le théorème 2 de [1] énonce:

Supposons que $C$ est un sous-code auto-orthogonal additif de $\textrm{GF}(4)^n$ , contenant $2^{n-k}$ vecteurs, de sorte qu'il n'y a pas de vecteurs de poids $<d$ en $C^\perp/C$ . Alors tout espace propre de $\phi^{-1}(C)$ est un code correcteur d'erreur quantique additif avec des paramètres $[[n, k, d]]$ .

où ici $\phi: \mathbb{Z}_2^{2n} \rightarrow \textrm{GF}(4)^n$ est la carte entre la représentation binaire des opérateurs de Pauli à $n$ plis et leur mot de code associé, et $C$ est auto-orthogonal si où est le double de .$C \subseteq C^\perp$$C^\perp$$C$

Cela nous indique que chaque code classique auto-orthogonal additif représente un code quantique .$\textrm{GF}(4)^n$$[[n, k, d]]$

Ma question est de savoir si l'inverse est également vrai, c'est-à-dire: chaque code quantique est-il représenté par un code auto-orthogonal classique classique?$[[n, k, d]]$$\textrm{GF}(4)^n$

Ou de manière équivalente: existe-t-il des codes quantiques qui ne sont pas représentés par un code auto-orthogonal classique additif ?$[[n, k, d]]$$\textrm{GF}(4)^n$

[1]: Calderbank, A. Robert, et al. "Correction d'erreur quantique via des codes sur GF (4)." Transactions IEEE sur la théorie de l'information 44.4 (1998): 1369-1387.

La contrainte auto-orthogonale additive sur les codes classiques afin de créer des codes quantiques de stabilisateur est nécessaire du fait que les générateurs de stabilisateurs doivent commuter entre eux afin de créer un espace de code valide. Lors de la création de codes quantiques à partir de codes classiques, la relation de commutation pour les stabilisateurs équivaut à avoir un code classique auto-orthogonal.

Cependant, les codes quantiques peuvent être construits à partir de codes classiques non auto-orthogonaux sur $GF(4)^n$ au moyen d'une aide à l'intrication. Dans ces constructions, un code classique arbitraire est sélectionné, et en ajoutant quelques paires de Bell dans le système qubit, la commutation entre les stabilisateurs est obtenue.

Ce paradigme assisté par enchevêtrement pour la construction de QECC à partir de n'importe quel code classique est présenté dans arXiv: 1610.04013 , qui est basé sur l'article "Corriger les erreurs quantiques avec enchevêtrement" publié dans Science par Brun, Devetak et Hsieh.

Votre question peut en partie être considérée comme un problème de notation.

La notation $[[n,k,d]]_D$ est souvent (mais pas toujours) réservée aux codes est de type stabilisateur. Comme le montre l'article de Calderbank et al., Les codes stabilisateurs de qubit sont équivalents aux codes classiques auto-orthogonaux GF (4) ^ n additifs. Cette construction se généralise, voir Réfs. Ketkar et al. et Ashikhmin et Knill . Ici, la dimension du code est $D^k$ pour les quDits.

$((n,K,d))_D$$K$$K$$D$

$((5,6,2))$$[[5,2,2]]$$2^2 = 4 < 6$