Pourquoi ne peut-il y avoir un code de correction d'erreur avec moins de 5 qubits?

J'ai lu récemment des codes de correction d'erreur à 9 qubits, 7 qubits et 5 qubits. Mais pourquoi ne peut-il pas y avoir un code de correction d'erreur quantique avec moins de 5 qubits?

Une preuve que vous avez besoin d'au moins 5 qubits (ou qudits)

Voici une preuve que tout code de correction d'erreur quantique à simple erreur ( c.-à-d. Distance 3) a au moins 5 qubits. En fait, cela se généralise aux qudits de toute dimension , et à tout code correcteur d'erreurs quantiques protégeant un ou plusieurs qudits de dimension .$d$$d$

(Comme le note Felix Huber , la preuve originale que vous avez besoin d'au moins 5 qubits est due à l'article Knill - Laflamme [ arXiv: quant-ph / 9604034 ] qui énonce les conditions Knill - Laflamme: voici la technique de preuve qui est plus couramment utilisé de nos jours.)

Toute erreur quantique code de correction qui peut corriger erreurs inconnues, peut aussi corriger jusqu'à erreurs d'effacement (où nous perdons tout simplement une qubit, ou il devient complètement dépolarisée, ou similaire) si on connaît les emplacements des qubits effacés. [1 seconde. III A] *. Un peu plus généralement, un code de correction d'erreur quantique de distance peut tolérer des erreurs d'effacement . Par exemple, alors que le code Ne peut pas du tout corriger les erreurs, essentiellement parce qu'il peut indiquer qu'une erreur s'est produite (et même quel type d'erreur) mais pas quel qubit il est arrivé que ce même code puisse protéger contre une seule erreur d'effacement (car par hypothèse, nous savons précisément où l'erreur se produit dans ce cas).$t$$2t$$d$$d-1$$[\![4,2,2]\!]$

Il s'ensuit que tout code correcteur d'erreurs quantiques qui peut tolérer une erreur de Pauli peut se remettre de la perte de deux qubits. Maintenant: supposons que vous ayez un code de correction d'erreurs quantiques sur qubits, codant un qubit contre les erreurs de qubit unique. Supposons que vous donniez qubits à Alice et qubits à Bob: alors Alice devrait être en mesure de récupérer l'état codé d'origine. Si , alors , de sorte que Bob devrait également pouvoir récupérer l'état codé d'origine - obtenant ainsi un clone de l'état d'Alice. Comme cela est exclu par le théorème de non clonage, il s'ensuit que nous devons avoir place.$n \geqslant 2$$n-2$$2$$n<5$$2 \geqslant n-2$$n \geqslant 5$

Sur la correction des erreurs d'effacement

* La première référence que j'ai trouvée pour cela est

[1] Grassl, Beth et Pellizzari.
      Codes pour le canal d'effacement quantique .
      Phys. Rev. A 56 (pp. 33–38), 1997.
      [ arXiv: quant-ph / 9610042 ]

- ce qui n'est pas très long après que les conditions Knill – Laflamme ont été décrites dans [ arXiv: quant-ph / 9604034 ] et donc plausiblement la preuve originale de la connexion entre la distance du code et les erreurs d'effacement. Le schéma est le suivant et s'applique aux codes de correction d'erreur de distance (et s'applique également aux qudits de n'importe quelle dimension à la place des qubits, en utilisant des opérateurs de Pauli généralisés).$d$

• La perte de qubits peut être modélisée en soumettant ces qubits au canal complètement dépolarisant, qui à son tour peut être modélisé en soumettant ces qubits à des erreurs de Pauli uniformément aléatoires.$d-1$

• Si l'emplacement de ces qubits était inconnu, cela serait fatal. Cependant, comme leurs emplacements sont connus, toutes les erreurs de paire Pauli sur les qubits peuvent être distinguées les unes des autres, en faisant appel aux conditions de Knill-Laflamme.$d-1$$d-1$

• Par conséquent, en remplaçant les qubits effacés par des qubits à l'état mélangé maximal et en testant spécifiquement les erreurs Pauli sur ces qubits (nécessitant une procédure de correction différente de celle que vous utiliseriez pour corriger des erreurs Pauli arbitraires, pensez-vous), vous pouvez récupérer le l'état original.$d-1$

Ce que nous pouvons facilement prouver, c'est qu'il n'y a pas de code non dégénéré plus petit .

Dans un code non dégénéré, vous devez avoir les 2 états logiques du qubit, et vous devez avoir un état distinct pour chaque erreur possible pour mapper chaque état logique. Supposons donc que vous disposiez d'un code à 5 qubits, avec les deux états logiques $|0_L\rangle$ et $|1_L\rangle$ . L'ensemble des erreurs possibles sur un seul qubit est $X_1,X_2,\ldots X_5,Y_1,Y_2,\ldots,Y_5,Z_1,Z_2,\ldots,Z_5$ , et cela signifie que tous les États

$$|0_L\rangle,|1_L\rangle,X_1|0_L\rangle,X_1|1_L\rangle,X_2|0_L\rangle,\ldots$$ doit correspondre aux états orthogonaux.

Si nous appliquons cet argument en général, cela nous montre que nous avons besoin de

$$2+2\times(3n)$$ états distincts. Mais, pour $n$ qubits, le nombre maximum d'états distincts est de $2^n$ . Ainsi, pour un code correct d'erreur non dégénéré de distance 3 (c'est-à-dire correction d'au moins une erreur) ou plus, nous avons besoin de $$2^n\geq 2(3n+1).$$ C'est ce qu'on appelle le Quantum Hamming Bound. Vous pouvez facilement vérifier que cela est vrai pour tous $n\geq 5$ , mais pas si $n<5$. En effet, pour $n=5$ , l'inégalité est une égalité, et nous appelons par conséquent le code 5 qubits correspondant le code parfait.

En complément de l'autre réponse, je vais ajouter la limite de Hamming quantique générale pour les codes de correction d'erreur non dégénérés quantiques. La formulation mathématique d'une telle borne est

$$\begin{equation} 2^{n-k}\geq\sum_{j=0}^t\pmatrix{n\\j}3^j, \end{equation}$$ où $n$ fait référence au nombre de qubits qui forment les mots de code, $k$ est le nombre de qubits d'information qui sont codés (donc ils sont protégés contre la décohérence), et $t$ est le nombre d' erreurs à $t$ bits corrigées par le code. Comme $t$ est lié à la distance par $t = \lfloor\frac{d-1}{2}\rfloor$, alors un tel code quantique non dégénéré sera uncode de correction d'erreur quantique$[[n,k,d]]$. Cette limite est obtenue en utilisant un argument de type emballage de sphère, de sorte que l'espace de Hilbert à$2^n$dimensions est partitionné en$2^{n-k}$des espaces désistés chacun par le syndrome mesuré, et donc une erreur est affectée à chacun des syndromes, et l'opération de récupération se fait en inversant l'erreur associée à ce syndrome mesuré. C'est pourquoi le nombre d'erreurs totales corrigées par un code quantique non dégénéré devrait être inférieur ou égal au nombre de partitions par la mesure du syndrome.

Cependant, la dégénérescence est une propriété des codes de correction d'erreurs quantiques qui impliquent le fait qu'il existe des classes d'équivalence entre les erreurs qui peuvent affecter les mots de code envoyés. Cela signifie qu'il y a des erreurs dont l'effet sur les mots de code transmis est le même tout en partageant le même syndrome. Cela implique que ces classes d'erreurs dégénérées sont corrigées via la même opération de récupération, et donc plus d'erreurs que prévu peuvent être corrigées. C'est pourquoi on ne sait pas si la limite de Hamming quantique est valable pour ces codes de correction d'erreur dégénérés, car plus d'erreurs que les partitions peuvent être corrigées de cette façon. Veuillez vous référer à cette question pour obtenir des informations sur la violation de la limite de Hamming quantique.

Je voulais ajouter un bref commentaire à la première référence. Je crois que cela a déjà été montré un peu plus tôt dans la section 5.2 de

A Theory of Quantum Error-Correcting Codes
Emanuel Knill, Raymond Laflamme 
https://arxiv.org/abs/quant-ph/9604034

où le résultat spécifique est:

Théorème 5.1. A $(2^r,k)$ $e$ -erreur-code de correction quantique doit satisfaire $r \geqslant 4e + \lceil \log k \rceil$ .

$(N,K)$$K$$N$$e$$e$$(2^n, 2^k)$ $e$$[\![n,k,2e\:\!{+}1]\!]$$k \geqslant 1$$d \geqslant 3$$[\![n,k,d]\!]$

$$\begin{aligned} n \;&\geqslant\; 4\bigl\lceil\tfrac{d-1}{2}\bigr\rceil + \lceil \log 2^k \rceil \\[1ex]&\geqslant\; \bigl\lceil 4 \cdot \tfrac{d-1}{2} \bigr\rceil + \lceil k \rceil \\[1ex]&=\; 2d - 2 + k \;\geqslant\; 6 - 2 + 1 \;=\; 5. \end{aligned}$$

( NB Il y a une particularité avec les dates ici: la soumission arxiv de l'article ci-dessus est avril 1996, quelques mois plus tôt que l'article Grassl, Beth et Pellizzari soumis en octobre 1996. Cependant, la date en dessous du titre dans le pdf indique un an plus tôt, avril 1995.)

Comme preuve alternative, je pourrais imaginer (mais je n'ai pas encore testé) que la simple résolution d'une distribution de poids qui satisfait les identités Mac-Williams devrait également suffire. Une telle stratégie est en effet utilisée

Quantum MacWilliams Identities
Peter Shor, Raymond Laflamme
https://arxiv.org/abs/quant-ph/9610040

pour montrer qu'il n'existe aucun code dégénéré sur cinq qubits qui peut corriger les erreurs individuelles.