Compte tenu des éléments suivants:

1. Temps, t
2. L'ensemble des données d'éphémérides IS-200, E, d'un satellite GPS correspondant au temps t
3. La position ECEF du satellite GPS, P = (x, y, z), dérivée du temps et des éphémérides, (t, E).
4. Supposons que la terre n'est que l'ellipsoïde WGS-84.
5. Tous les points du WGS-84 ont l'angle de masque, m.

Trouvez les éléments suivants:

1. l'anneau de couverture, R, sur WGS-84 du satellite GPS. c'est-à-dire la frontière qui distingue quels points WGS-84 sont en vue le satellite au point P = (x, y, z) et quels points WGS-84 ne sont pas en vue

Solutions acceptables:

1. Une spline sur WGS-84 qui se rapproche de R.
2. Un polygone sur WGS-84 qui se rapproche de R.
3. Ou une formule (s) qui me donne R.

Ce que j'ai essayé jusqu'à présent:

• Soit e ^ 2 = 0,0066943799901264; excentricité au carré

Nous avons une position ECEF WGS-84 par latitude géodésique phi et longitude lambda:

r = 1 / (sqrt (1-e ^ 2 sin ^ 2 (phi))) * (cos (phi) * cos (lambda), cos (phi) * sin (lambda), (1-e ^ 2) * péché (phi))

Je convertis ensuite ECEF en cadre géographique est-nord en haut (ENU) avec phi et lambda en utilisant la matrice:

     (-sin(lambda)                  cos(lambda)                  0       )
C=   (-cos(lambda)*sin(phi)        -sin(lambda)*sin(phi)         cos(phi))
     ( cos(lambda)*cos(phi)         sin(lambda)*cos(phi)         sin(phi))

• Soit G = C (P - r)
• Prenez la composante z de G. si la composante z de G est supérieure à sin (m), alors je sais que le point, r, est en vue. Mais cela ne suffit pas pour obtenir la solution que je recherche. Je pourrais juste trouver un tas de points qui sont en vue et prendre la coque convexe de ces points, mais ce n'est pas du tout efficace.

La solution pour un ellipsoïde est assez compliquée - c'est une forme irrégulière, pas un cercle - et mieux est calculée numériquement plutôt qu'avec une formule.

Sur une carte du monde, la différence entre la solution WGS84 et une solution purement sphérique sera à peine perceptible (il s'agit d'un pixel sur un écran). La même différence serait créée en modifiant l'angle du masque d'environ 0,2 degré ou en utilisant une approximation polygonale. Si ces erreurs sont acceptables, vous pouvez exploiter la symétrie de la sphère pour obtenir une formule simple.

Cette carte (en utilisant une projection équirectangulaire) montre la couverture d'un satellite à 22.164 kilomètres (du centre de la Terre) avec un angle de masque de m = 15 degrés sur le sphéroïde WGS84. Le recalcul de la couverture d'une sphère ne change pas visiblement cette carte.

Sur la sphère, la couverture sera vraiment un cercle centré à l'emplacement du satellite, nous n'avons donc qu'à déterminer son rayon, qui est un angle. Appelez cela t . En coupe, il y a un triangle OSP formé par le centre de la Terre (O), le satellite (S) et tout point (P) sur le cercle:

• Le côté OP est le rayon de la Terre, R .

• L'OS latéral est la hauteur du satellite (au-dessus du centre de la Terre). Appelez ça h .

• L'angle OPS est de 90 + m .

• L'angle SOP est t , que nous voulons trouver.

• Étant donné que les trois angles d'un triangle totalisent 180 degrés, le troisième angle OSP doit être égal à 90 - ( m + t ).

La solution est désormais une question de trigonométrie élémentaire. La loi (planaire) des sinus affirme que

sin(90 - (m+t)) / r = sin(90 + m) / h.

La solution est

t = ArcCos(cos(m) / (h/r)) - m.

À titre de vérification, considérons quelques cas extrêmes:

1. Lorsque m = 0, t = ArcCos (r / h), ce qui peut être vérifié avec la géométrie euclidienne élémentaire.

2. Lorsque h = r (le satellite n'a pas été lancé), t = ArcCos (cos (m) / 1) - m = m - m = 0.

3. Lorsque m = 90 degrés, t = ArcCos (0) - 90 = 90 - 90 = 0, comme il se doit.

Cela réduit le problème de dessiner un cercle sur la sphère, qui peut être résolu de plusieurs façons. Par exemple, vous pouvez tamponner l'emplacement du satellite par t * R * pi / 180 en utilisant une projection équidistante centrée sur le satellite. Les techniques pour travailler directement avec des cercles sur la sphère sont illustrées sur /gis//a/53323/664 .

Éditer

FWIW, pour les satellites GPS et les petits angles de masque (moins de 20 degrés environ), cette approximation non trigonométrique est précise (à quelques dixièmes de degré et moins de quelques centièmes de degré lorsque l'angle de masque est inférieur à 10 degrés). ):

t (degrees) = -0.0000152198628163333 * (-5.93410042925107*10^6 + 
              3.88800000000000*10^6 r/h + 65703.6145507725 m + 
              9.86960440108936 m^2 - 631.654681669719 r/h m^2)

Par exemple, avec un angle de masque de m = 10 degrés et un satellite à 26 559,7 km au-dessus du centre de la Terre (qui est la distance nominale d'un satellite GPS ), cette approximation donne 66,32159 ..., alors que la valeur (correcte pour la sphère ) est 66,32023 ....

(L'approximation est basée sur une expansion de la série Taylor autour de m = 0, r / h = 1/4.)