Pourquoi le chemin "en ligne droite" à travers le continent est-il si incurvé?

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Ceci est le résultat de la cartographie du tracé de la ligne droite d'un point situé aux États-Unis vers la Pologne à l'aide de l' outil de mesure de distance .

De plus, les avions entre l'Asie et les États-Unis voyageraient presque au-dessus du pôle Nord.

distance en ligne droite entre l'Alberta et la Pologne

Pourquoi le chemin est-il si courbe? Je conviens qu’il s’agit d’une représentation plate d’une sphère, j’attends donc un arc, mais je ne pense pas que la Terre présente autant de courbure.

Qu'est-ce que j'oublie ici?

Lazer
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Réponses:

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Il suffit de regarder le chemin sur la sphère. La voici dans Google Earth:

Terre vue de l'espace vu du dessus du Groenland, le trajet de l'Alberta à la Pologne est montré

Le chemin sur votre carte est fortement incurvé car votre carte utilise une projection avec beaucoup de distorsion. (La distorsion grandit sans se lier aux pôles et ce chemin se rapproche du pôle nord.)

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La distorsion est nécessaire pour expliquer la courbure de cette géodésique sur la carte, mais la connexion entre eux est subtile. On peut en dire plus qui est à la fois utile, informatif et élégant. Voyez si vous êtes d'accord.

La carte du PO utilise une projection de Mercator. Ses principales qualités sont qu’il est

  • Cylindrique : les méridiens en particulier sont des lignes verticales sur la carte,

  • Conforme : tout angle auquel deux chemins se croisent sur la Terre sera correctement rendu sur la carte, et

  • Loxodromique : tout itinéraire à relèvement constant (sur la terre) est affiché sous forme de segment de droite sur la carte.

Ces propriétés facilitent la lecture de certaines informations critiques directement à partir de la carte. Dans ce contexte, je suis particulièrement intéressé par les angles que tout chemin crée avec chacun des méridiens qu’il traverse. (Ce sont les relèvements mesurés à partir du nord.) Par exemple, le chemin décrit dans la question commence au Canada, autour de 54 degrés de latitude, faisant un angle d'environ 30 degrés avec son méridien.

Ce que nous devons également savoir sur un point situé à 54 degrés de latitude, c’est qu’il est plus proche de l’axe de la Terre que de points situés le long de l’équateur. En fait, c'est cos (54) * R depuis l'axe, où R est le rayon de la Terre. (C’est essentiellement la définition du cosinus. Il est utile de connaître un peu les cosinus afin de comprendre leur comportement, mais vous n’avez pas besoin de connaître une autre trigonométrie. Je vous promets. Encore une chose: le sinus d'un angle est le cosinus de son complément, par exemple, sin (32 degrés) = cos (90-32) = cos (58).

Enfin, notez que la terre est symétrique en rotation autour de son axe. Cela nous permet d’invoquer la belle de Clairaut

Théorème (1743): Sur une trajectoire dans toute surface lisse de révolution, le produit de la distance à l'axe avec le sinus du relèvement est constant si et seulement si la trajectoire est localement géodésique.

Ainsi, comme nous partons à 54 degrés de latitude sous un angle de 30 degrés, le produit dans le théorème est égal à cos (54) * R * sin (30) = 0,294 * R.

Comment cela aide-t-il? Eh bien, réfléchissez à ce qui se passerait si le chemin continuait approximativement tout droit sur la carte . Tôt ou tard, il atteindrait une latitude de 73 degrés. En utilisant le théorème de Clairaut, nous pouvons résoudre le relèvement à cette latitude:

cos(73) * R * sin(bearing) = 0.294 * R;

sin(bearing) = 0.294 / cos(73) = 1;

bearing = 90 degrees.

Cela dit qu’au moment où nous atteignons une latitude de 73 degrés, nous devons voyager vers l’est ! C'est-à-dire que le chemin, pour être géodésique, doit être tellement incurvé que le relèvement initial de 30 degrés (est du nord) devient 90 degrés (est du nord).

(Bien sûr, j'ai trouvé la valeur 73 degrés en résolvant l'équation cos (latitude) = cos (latitude) * sin (90) = cos (54) * sin (60). Pour faire cela vous-même, vous devez savoir que (a ) sin (90) = 1 (parce que sin (90) = cos (90-90) = cos (0) = 1) et (b) la plupart des calculateurs et feuilles de calcul ont une fonction permettant de résoudre des cosinus: il s’appelle ArcCos ou cosinus inverse. J'espère que vous ne considérez pas ce petit détail comme une rupture de ma promesse antérieure de ne plus avoir de trig ...)

Après avoir fait quelques calculs comme celui-ci, vous développez une intuition pour ce que dit le théorème de Clairaut. Un chemin dans une surface de révolution (comme la Terre) peut être géodésique (localement le plus court ou "droit") uniquement lorsque (a) son relèvement devient plus parallèle aux méridiens en des points éloignés de l’axe et (b) que son relèvement devient plus perpendiculaire aux méridiens en des points plus proches de l’axe. Parce qu'il y a une limite à la perpendiculaire - 90 degrés, c'est vrai -, il y a une limite à la proximité de l'axe. Cet ajustement constant du relèvement (= angle par rapport au méridien) et de la latitude (= distance par rapport à l'axe) provoque la courbure apparente des géodésiques sur la plupart des cartes, en particulier sur ceux qui utilisent des projections cylindriques, où les méridiens et les lignes de latitude sont respectivement rendus sous forme de lignes verticales et horizontales.

Voici quelques implications simples du théorème de Clairaut. Voyez si vous pouvez tous les prouver:

  1. L'équateur doit être une géodésique.

  2. Tous les méridiens sont géodésiques.

  3. Aucune ligne de latitude, autre que l'équateur (et les pôles, si vous souhaitez les inclure), ne peut être géodésique. Pas même une petite partie d'une ligne de latitude ne peut être géodésique.

  4. Les loxodromes (ou rhumb lines), qui sont des lignes à port constant, ne peuvent être géodésiques que s'ils sont des méridiens ou l'équateur. Pas même une petite partie d'un tel loxodrome ne peut être géodésique. En d'autres termes, si vous naviguez ou volez dans une direction de boussole fixe, alors, à quelques exceptions évidentes, votre chemin est constamment incurvé!

Le point 4 dit que si vous volez des Rocheuses canadiennes avec un relèvement initial de 30 degrés à l’est du nord, vous devez sembler, par rapport au nord, tourner constamment (à droite) pour voler droit; vous n'irez jamais au nord de 73 degrés de latitude; et si vous continuez assez loin, vous vous rendrez en Pologne et vous vous dirigerez à environ 150 degrés à l’est du nord lorsque vous y arriverez. Bien sûr, les détails - 73 degrés et la Pologne et 150 degrés - ne sont obtenus que par l' énoncé quantitatif du théorème de Clairaut: vous ne pouvez généralement pas comprendre ce genre de chose en utilisant simplement votre idée intuitive de géodésique.

Il est à noter que tous ces résultats sont valables pour un sphéroïde général (une surface de révolution générée par une ellipse), pas seulement pour des sphères parfaites. Avec de légères modifications, ils sont valables pour les tori (surfaces de bagels ou de pneus de camion) et de nombreuses autres surfaces intéressantes. (L’auteur de science-fiction Larry Niven a écrit un roman dans lequel figure un petit monde artificiel en forme de tore. Le lien inclut une image de la couverture du roman représentant une partie de ce monde.)

whuber
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beau résumé ... oublié le livre de Larry Niven!
3
Super réponse, merci. C'est peut-être une bonne question à aborder dans notre FAQ car elle touche de nombreux principes fondamentaux importants.
scw
ravi de vous voir sur la section gis! excellente réponse comme ce que vous faites dans les statistiques!
hxd1011
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Dans cette projection (Google Mercator), c'est à quoi ressemble le grand arc de cercle entre ces deux endroits.

sous-bois
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6
+1 Pourquoi le vote négatif? C'est une très bonne réponse. Il est difficile de savoir quoi dire de plus. De plus, il a ajouté un aperçu en reconnaissant la projection sur la carte.
whuber
3
ce serait bien s'il y avait des conséquences ou un contrôle sur les votes négatifs.
Brad Nesom
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Juste un ajout rapide:

De plus, les avions entre l'Asie et les États-Unis voyageraient presque au-dessus du pôle Nord.

Dans cette direction, ils utiliseront souvent le jet stream. Dans l’autre sens, ils survoleront / se rapprocheront des pôles. Jetstream Asie-États-Unis

http://en.wikipedia.org/wiki/Jet_stream

johanvdw
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1
+1 Le moyen le plus simple de s'y rendre n'est pas nécessairement le plus court. :-)
whuber
Il y a un article intéressant chez I fly 747 pour gagner sa vie. Voici les choses étonnantes que je vois tous les jours. qui en parle du point de vue d'un pilote
Stephen Lead
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Carte Mercator avec Tissot indicatrice

La projection de Mercator se déforme aux pôles http://en.wikipedia.org/wiki/Mercator_projection

plus d'informations Indicatrix de Tissot

Donc, la pente est plus aiguë dans ces derniers pôles

http://en.wikipedia.org/wiki/Tissot%27s_Indicatrix

Mapperz
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La TI n'indique pas directement de quelle manière les géodésiques vont être courbes. Une distorsion élevée n'implique pas une "raideur aiguë". Par exemple, sur une projection stéréographique, le pôle opposé (sud) est infiniment déformé (comme sur le Mercator); le TI montre des cercles de taille illimitée; mais tous les géodésie émanant de chaque pôle seront des lignes droites sur la carte et, en fait, plus une géodésique arrive au pôle sud de la plus droite , il apparaît sur la carte! La géodésique la plus fortement incurvée sera l’équateur, situé dans une région de distorsion intermédiaire (et uniforme).
whuber
1
Après réflexion, j'apprécie mieux cette contribution: l'introduction de TI nous permet de voir la nature de la distorsion qui conduit à la courbure des géodésiques sur la carte. La relation entre le TI et les géodésiques est subtile: elle dépend des taux de changement du TI. Plus précisément, les cercles représentent graphiquement la métrique euclidienne, dont les composantes sont traditionnellement écrites E, F et G. Leurs taux de changement produisent les symboles de Christoffel, qui à leur tour indiquent les directions géodésiques. Sur une carte conforme telle que celle-ci, une géodésique veut s’écarter des grands cercles.
whuber
Merci, commentaires appréciés - ont enseigné aux enfants, donc garder est aussi simple que possible - comme dessiner sur une main à plat - fait maintenant un poing - les lignes du poing deviennent incurvées et plus longues? - idéal pour expliquer les contours sur une carte en 2D!
Mapperz
En guise de commentaire, si vous supposez 1 degré entre les lignes de longitude, elles sont distantes de 70 milles à l'équateur et convergent évidemment aux pôles. C'est un bon site pour calculer la distance, les points d'appui, les grands cercles, etc., etc.: movable-type.co.uk/scripts/latlong.html
Poilu
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J'ai vu une explication très élégante de ce phénomène sur le blog de Tom MacWright ici , avec des photos d'oranges. La version explicative de 5 ans: "Sur un globe terrestre, les chemins les plus courts sont plats et les lignes de navigation sont sinueuses. Mercator a créé une carte où les lignes de navigation sont droites. Les chemins les plus courts se courbent."

ThomM
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Cela est dû à la projection d’un plan 2D sur une surface polorisée à 2 sphères. Lorsque la ligne se déplace au-delà des pôles, elle se déforme aussi loin que possible pour les observateurs du plan 2D car la ligne droite jusqu’à la destination semble être une courbe. arche d'un grand cercle, terme mathématique qui désigne le plus grand cercle pouvant être découpé dans une sphère, à condition que le cercle passe au centre de la sphère. J'ai légèrement modifié les images fournies dans d'autres réponses en gribouillant une ligne pour illustrer (assez mal, j'ai peur, je suis nouveau dans GIMP) La prétendue distorsion polaire. Je pense qu'un concept similaire se cache derrière les forces gravitationnelles, mais je ne suis pas physicien, donc je ne saurais le dire.

entrez la description de l'image ici

entrez la description de l'image ici

Plus un point se rapproche des pôles, moins il semble être déformé lors du rendu sur une surface 2D plate, bien qu'il soit encore très petit. Cela dépend également de la méthode de projection utilisée, et certaines s’efforcent de faire en sorte que la route la plus rapide entre deux points semble plate et qu’elle se retourne ensuite sur la vue sphérique complète.

Bungis Albondigas
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Bien que la plupart de vos propos soient corrects de temps en temps en fonction de la projection et du contexte, presque rien dans cette réponse n’est généralement vrai. À titre d'exemple, la projection familière de Mercator fournit un contre-exemple à l'affirmation selon laquelle "plus un point se rapproche des pôles, moins il semble être déformé ...".
whuber
Cette déclaration "plus un point s'approche des pôles, moins il semble être déformé ...". est vrai pour les projections azimutales mais totalement incorrect pour la projection de Mercator ou de toute projection cylindrique à cet égard.
Janvier