Pourquoi n'utilisons-nous pas de cartes octogonales au lieu de cartes hexagonales?

Je comprends l’avantage des carreaux hexagonaux par rapport aux carreaux carrés. Mais pourquoi les octogones ne sont-ils pas utilisés à la place? Je pense qu'ils fourniraient un mouvement meilleur et plus naturel dans huit directions.

Je pensais à utiliser ce type de carte dans certains jeux, mais je n'ai vu aucun jeu l'utilisant, alors je me demande si j'ai oublié quelque chose de vraiment défectueux.

Octogones:

Hexagones:

Les lacunes dans les octogones créent un monde de jeu peu attrayant.

En règle générale, si vous souhaitez autoriser huit directions de mouvement, il vous suffit d'utiliser des carrés.

Pour résumer et de préciser ce qui a été dit dans d' autres réponses et dans les commentaires, des triangles, des carrés et des hexagones sont les seuls mathématiquement possible des pavages réguliers aka pavages réguliers du plan euclidien . Alors oui, ça craint. Les triangles sont complètement inutiles ici, les carrés craignent parce que vous ne pouvez pas vous déplacer en diagonale sans avoir un facteur un peu difficile à manier de 1,414213562373095048801688724969680785696718753769480 ... donner ou prendre; et les hexagones sont nuls parce que vous ne pouvez même pas vous déplacer directement dans les deux sens. Ne vous méprenez pas, je les préfère toujours aux carrés dans les limites de la piètre réalité que les mathématiques nous ont laissées et nous invoquons Civ5 pour finalement passer aux grilles hexagonales. Mais encore, si elle était possible de tesseller avec des octogones, personne ne jetterait un second regard sur les hexagones.

Vous pourriez dire "Eh bien, je m'en fiche s'il y a des trous. Je prétends simplement qu'ils ne sont pas là." Vous obtiendrez la mosaïque carrée tronquée qui s'appelle mosaïque carrée non pas parce qu'il y a de petits espaces carrés, mais parce que ces octogones ne sont que des carrés glorifiés en termes de mosaïque du plan. Ces petits carrés sont ce qui reste de tronquerles coins des cases qui recouvriraient réellement l'avion et le jeu, la raison pour laquelle on n'utilisait pas les cases en premier lieu était d'avoir une distance égale pour les déplacements droits et diagonaux et c'est ce que vous n'avez pas ici. Les déplacements en diagonale doivent couvrir la même distance entre les centres des carreaux qu'avec les carreaux carrés. Inversement, si vous prétendez que votre espace numérique magique comporte de véritables trous, vous pouvez le faire, mais quelle est la différence avec le simple fait d'utiliser des carreaux carrés et de faire des mouvements en diagonale aussi coûteux que ceux qui sont droits?

Maintenant tout cela ne serait pas si grave s'il y avait vraiment de bonnes alternatives qui ne sont pas euclidiennes . De toute façon, notre grille est souvent sur une planète, alors pourquoi ne pas utiliser une géométrie elliptique, c'est-à-dire la surface d'une sphère? Malheureusement, les sphères sont même beaucoup, bien pires quand il s’agit de toucher régulièrement. Vous pouvez utiliser au moins autant de tuiles que vous le souhaitez dans l’avion. Il existe cinq arrangements sur les sphères, les solides de Platon. C'est ça. Et seulement deux d'entre eux n'utilisent pas de triangles. https://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_polyhedra

Cependant, le plan hyperbolique bascule vraiment quand il s’agit de tessellations. Il n'y a pas que trois, en fait, il y a un nombre infini de pavages réguliers, y compris un octogonal .

Le seul problème est que le plan hyperbolique n'est pas quelque chose d'aussi beau qu'une surface plane ou une sphère mais bien la surface d'un Pringle . Vous auriez besoin d'une histoire compliquée pour justifier un jeu sur un Pringle;)

Pourtant, le carrelage octogonal est si élégant et le disque de Poincaré ressemble tellement génial que je suis vraiment surpris qu'il est presque jamais été fait (Je viens de dire « n'a jamais été fait » ici mais je lis MartianInvader pointant commentaire de la HyperRogue ).

Du point de vue de la mise en œuvre, même si je ne l’ai jamais fait moi-même, il devrait être assez simple de mettre cela en oeuvre avec les architectures 3D actuelles, puisqu’une vue de disque de Poincaré peut être construite en plaçant le tout à la surface d’un hyperboloïde et en faisant une projection en perspective (voir Relation avec le modèle hyperboloïde ).

Encore une chose pour conclure, si vous envisagez de jouer à un jeu spatial basé sur une grille et de passer aux trois dimensions, dans l’espoir que les choses se présentent mieux ici ... mieux vaut tout simplement abandonner. Non seulement vous auriez besoin d’un polyèdre convexe régulier à 14 faces qui n’existe pas , mais le seul moyen de tesseller l’espace euclidien 3D avec un polyèdre convexe régulier consiste à utiliser des cubes. Booooring. Dans l'espace hyperbolique, vous pouvez au moins obtenir quelque chose de vaguement comme l'analogue sur une grille hexadécimale en tessellant avec un dodécaèdre (c'est-à-dire un polyèdre à 12 faces; ça fait presque 14, n'est-ce pas?) la contrepartie d'un pavage octogonal:

Beau comme l'enfer? Oh mon Dieu, oui! Est-ce que je paniquerais au-delà de toute mesure si des vaisseaux spatiaux extraterrestres venaient après moi et que je devais réagir de manière sensée? Tu parles que je le ferais. C'est probablement la raison pour laquelle la plupart des gens n'utilisent que des cubes ou des piles prismatiques hexagonales .

L'auteur de HyperRogue ici.

HyperRogue utilise en fait une mosaïque d’hexagones et d’heptagones, c’est la raison pour laquelle cette mosaïque particulière a été choisie, au lieu d’octogones ou d’heptagones, par exemple: Géométrie hyperbolique dans une Voleuse hyperbolique Au fond, les octogones sont trop grands.

De plus, certaines conséquences de l’utilisation de la géométrie hyperbolique dans un jeu (ce qui fonctionne en hyperbolique et ne fonctionne pas en euclidien, et vice versa) sont listées dans cet article.

Et oui, comme Christian l'a deviné, HyperRogue utilise en interne le modèle hyperboloïde.

Je ne suis pas autorisé à commenter la réponse de Christian, mais il existe une mosaïque de l'espace 3D avec un polyèdre à 14 faces: Honeycomb cubique bitruncé (pourquoi 14 faces, en tout cas?)

Ce que vous voulez en gros, c'est une mosaïque (ou mosaïque) monohédrale, c'est-à-dire une couverture de tout le plan (en supposant 2d) avec une seule forme où les tuiles ne se chevauchent ni ne laissent des espaces.

Cela peut être fait de nombreuses manières, mais lorsque nous introduisons d'autres contraintes, l'orientation doit rester la même ou être conforme à une direction de mouvement naturelle, il ne reste en gros que des carrés et des hexagones.

Prenez le triangle pour obtenir des exemples (que vous pourriez connaître grâce au tesselation d'objets 3D). Pour combler les espaces entre deux triangles, un autre triangle doit être inséré, mais renversé. C’est évidemment un problème à générer lorsqu’il s’agit d’images-objets, par exemple, car une connexion transparente est importante. Aussi le mouvement triangulaire est nul.

Le plus naturel, du moins en ce qui concerne le mouvement, est le carré le plus fréquemment utilisé. Les hexagones constituent la deuxième meilleure solution et permettent une approche plus directe vers un plus grand nombre de directions de mouvement, c'est-à-dire pas au-dessus du coin, comme le fait le mouvement à 8 directions sur les carrés. Ils sont généralement utilisés dans des jeux plus tactiques où l'augmentation des mouvements est importante.

Quoi qu'il en soit, si vous souhaitez en savoir plus, consultez http://euler.slu.edu/escher/index.php/Tessellations_by_Polygons .