Tutoriel Raycasting / Question mathématique vectorielle

Je vérifie ce joli tutoriel de raycasting sur http://lodev.org/cgtutor/raycasting.html et j'ai une question mathématique probablement très simple.

Dans l'algorithme DDA, j'ai du mal à comprendre le calcul des variables deltaDistX et deltaDistY, qui sont les distances que le rayon doit parcourir de 1 côté x au côté x suivant, ou de 1 côté y au suivant côté y, dans la grille carrée qui compose la carte du monde (voir capture d'écran ci-dessous).

Dans le tutoriel, ils sont calculés comme suit, mais sans trop d'explications:

//length of ray from one x or y-side to next x or y-side
double deltaDistX = sqrt(1 + (rayDirY * rayDirY) / (rayDirX * rayDirX));
double deltaDistY = sqrt(1 + (rayDirX * rayDirX) / (rayDirY * rayDirY));

rayDirY et rayDirX sont la direction d'un rayon qui a été lancé.

Comment obtenez-vous ces formules? Il semble que le théorème de Pythagore en fasse partie, mais d'une manière ou d'une autre, la division est impliquée ici. Quelqu'un peut-il me donner des informations sur les connaissances mathématiques qui me manquent ici, ou «prouver» la formule en montrant comment elle est dérivée?

Ahh oui. J'ai jeté mes maths dessus et je pense que je l'ai frappé. Vous avez raison, cela implique le théorème de Pythagore et une certaine mise à l'échelle.

Vous commencez avec votre vecteur normalisé qui représente votre rayon.

Il a un xcomposant et un ycomposant. Nous voulons d'abord voir combien de temps il est quand il voyage d'une unité dans la xdirection. Alors que faisons-nous? Nous voulons mettre le vecteur entier à l'échelle de sorte que la xcomposante soit égale 1. Pour savoir par quoi le mettre à l'échelle, nous procédons comme suit:

scaleFactor = 1/rayDirX;

Écrire cela en mathématiques c'est vraiment juste

scaledX = rayDirX * (1/rayDirX) = 1

Nous pouvons donc simplement appeler cela 1.

Ensuite pour le ycomposant:

scaledY = rayDirY * (1/rayDirX) = rayDirY/rayDirX

Alors maintenant, nous avons nos composants mis à l'échelle comme (1, rayDirY/rayDirX)

Maintenant, nous voulons connaître la longueur. Maintenant, Pythagore entre en jeu. Lequel est

length = sqrt((x * x) + (y * y))

Ainsi, en connectant nos composants à l'échelle, nous obtenons:

length = sqrt((1 * 1 ) + (rayDirY / rayDirX) * (rayDirY / rayDirX))

Appliquez une algèbre et simplifiez et nous obtenons:

length = sqrt(1 + (rayDirY * rayDirY) / (rayDirX * rayDirX))

Il en va de même pour la longueur lorsque le ycomposant parcourt une unité, sauf que nous aurons (rayDirX/rayDirY, 1)ce qui se traduira par

length = sqrt(1 + (rayDirX * rayDirX) / (rayDirY * rayDirY))

Nous avons là vos deux équations de votre question. Génial. Merci pour l'exercice d'algèbre.

En supposant que la longueur unitaire de chaque distance de grille est de 1.

Le triangle (Triangle 1) dans le diagramme affiché (question OP) consistant deltaDistXen l'hypoténuse, a la même valeur de cosinus de son angle que la valeur de cosinus de l'angle formé dans le triangle formé par les constituants du rayDir# Vector(Triangle 2)

Ainsi, les éléments suivants peuvent être assimilés ( magnitudes vectorielles ci-dessous ) et simplifiés (1-3)

Rappelez-vous: cos = Base / Hypotenuse

0. cosine_triangle_2                   = cosine_triangle_1
1. rayDirX/sqrt(rayDirX^2 + rayDirY^2) = 1/deltaDistX
2. (rayDirX*deltaDistX)^2              = rayDirX^2 + rayDirY^2
3. deltaDistX                          = sqrt(1+ rayDirY^2/rayDirX^2)

De même, l'équation pour deltaDistYpeut être dérivée.