Trajectoire projetée d'un véhicule?

Dans le jeu que je développe, je dois calculer si mon véhicule (1) qui dans l'exemple se déplace vers le nord avec une vitesse V, peut atteindre sa cible (2). L'exemple décrit le problème du haut:

Il y a en fait deux scénarios possibles: V est constant (résultant en trajectoire 4, un arc de cercle) ou le véhicule a la capacité d'accélérer / décélérer (trajectoire 3, un arc de spirale).

Je voudrais savoir s'il existe un moyen simple de vérifier si le véhicule est en mesure d'atteindre sa cible (plutôt que de le dépasser) . Je m'intéresse particulièrement à la trajectoire n ° 3, car je ne pense qu'à intégrer la position du véhicule dans le temps.

EDIT: bien sûr, le véhicule a toujours la capacité de braquer, mais le rayon de braquage varie avec sa vitesse (pensez à une force g latérale maximale).

EDIT2: notez également que (comme la plupart des véhicules dans la vie réelle), il existe également un rayon de braquage minimum pour ceux du jeu).

Si vous pouvez faire varier votre vitesse (donc votre angle de braquage) vous trouverez toujours une solution, à partir de celle dégénérée où l'entité est presque arrêtée de tourner en petit cercle jusqu'à pointer la cible.

Si vous ne pouvez pas varier votre vitesse, vous pouvez penser à des zones inaccessibles ou à des ombres que vous ne pouvez pas atteindre même en utilisant votre meilleure direction, si la cible se trouve dans ces zones, vous ne pouvez pas l'atteindre (à moins que "dépassement", vous pouvez même les dépasser et les sortir de la zone d'ombre).

Votre meilleure direction vous permet de tourner à gauche / à droite sur un arc de cercle, vous permettant de dessiner une circonférence complète:

Comme vous pouvez le voir, ce qui se trouve à l'intérieur de l'un des deux cercles ne peut pas être atteint directement.

Un corps de masse m qui se dirige sur une courbe de rayon de courbure r , subit une force centrifuge apparente radiale provoquée par le comportement inertiel du corps, égale à:

où V est la vitesse du corps (la longueur du vecteur vitesse); étant l'accélération d'un corps due à une force étant:

notre accélération est:

Si nous disons que am est l'accélération maximale, nous obtenons que:

où rm est le rayon minimal en utilisant l'accélération maximale.

Pour tester si le veicule en P se déplaçant à la vitesse V peut atteindre la cible en T, il faut:

1) calculer C1 et C2 comme:

2) tester la distance minimale de P de C1 et C2 comme suit:

Si d est supérieur à rm, cela signifie que T est en dehors des deux ombres et est alors accessible par le véhicule en ajustant simplement la direction sous la contrainte de direction. (pour être plus précis, il existe un chemin sous contraintes qui laisse la fonction de la distance entre T et P décroître de façon monotone)

[MISE À JOUR]

S'il est possible de changer la vitesse, est toujours possible d'obtenir un arc (soit un couple accelleration vitesse / radiale) qui va de P à T . Cela est possible car le rayon devient un véritable degré de liberté.

C'est une construction possible:

La ligne noire est l'axe où le centre des cercles peut s'étendre: elle est perpendiculaire à l'orientation actuelle du véhicule et passe par son centre de rotation.

Le segment vert représente la ligne perpendiculaire à celle qui relie le centre du véhicule à la cible et passe au milieu de cette distance.

La ligne verte croise la noire exactement au centre de l'arc souhaité. La longueur du segment orange nous indique le rayon de braquage qui peut être atteint en régulant la vitesse et en tournant au braquage maximum ou en régulant à la fois la vitesse et le braquage pour rester sous la contrainte