Un argument tiré du théorème de la circulation de Kelvin

Page 318, «Les principes fondamentaux de l’aérodynamique» de John Anderson.

L'auteur affirme ici d'après le théorème de circulation de Kelvin que la circulation initiale autour d'une boucle fermée, y compris la surface portante lorsque le flux est stationnaire, égale à 0, doit être égale à la valeur finale de la circulation dans cette boucle fermée lorsque le flux a atteint un état stable. .

D'accord. Jusqu'ici tout va bien.

Mais ensuite, il soutient que la circulation négative du vortex de départ est la raison de la formation de la circulation positive autour du profil

Maintenant, ce qui précède ne peut être vrai que lorsque la surface portante, une fois que le flux en régime permanent est atteint, fait toujours partie de la boucle fermée formée par ces éléments fluides initiaux.

Mais voici la chose. Ces éléments fluides initiaux ont maintenant traversé la surface portante. Il n’est pas obligatoire que la surface portante reste toujours enfermée dans cette boucle, constituée de ces mêmes éléments fluides.

Si tel est le cas, le théorème de circulation de Kelvin ne peut tout simplement pas être appliqué de la manière que l’auteur présente pour le profil aérodynamique.

Si tel est le cas, le tourbillon de départ ne devrait pas être la raison du développement de la circulation autour de la pale, ou devrait-il en être ainsi?

Un peu de clarté nécessaire.

Normalement, vous appliqueriez le théorème de la circulation de Kelvin à l'ensemble du système, de sorte que tout ce qui est important soit entouré du contour à tout moment $ t $ (remarque: l'auteur a également développé la forme du contour de la première à la deuxième image). Le système composé de l'aile et l'air environnant a une circulation de zéro au début. Dès que nous observons un mouvement relatif entre une aile et l’air environnant, nous pouvons observer qu’un vortex de départ est généré. En supposant que le théorème de circulation de Kelvin soit valide (conditions: les forces de flux et de volume inviscides + barotropes sont conservatives), nous savons qu'un vortex d'orientation différente doit être créé pour équilibrer la circulation de vortex de départ.

Rappelez-vous que la circulation est définie par

$$ \ Gamma = \ oint_ {C (t)} \ boldsymbol {u} d \ boldsymbol {r}. $$

Ainsi, les limites de votre système doivent toujours inclure les deux vortex. L'explication mathématique est qu'un vortex n'est rien d'autre qu'une singularité mathématique. La vitesse $ \ boldsymbol {u} _ {\ text {V}} $ d'un tel vortex est donnée par

$$ \ boldsymbol {u} _ {\ text {V}} = \ dfrac {\ Gamma_0} {2 \ pi r} $$

il est facile de voir que $ \ boldsymbol {u} _ {\ text {V}} $ explose pour $ r \ à 0 $. Dès que cette singularité est à la limite du système, elle croise le contour $ C (t) $. La circulation n'est donc pas bien définie à partir de ce point car il s'agit de l'intégrale de la droite sur ce contour. Si vous partez du point où le contour ne contient qu'un des tourbillons, vous pouvez à nouveau appliquer le théorème de la circulation de Kelvin.

$$ \ dfrac {D \ Gamma} {Dt} = 0 \ implique \ Gamma = \ text {const.} $$ mais maintenant la circulation initiale est égale à $ \ Gamma = \ text {const.} $ et restera ainsi tant que le vortex (= singularité) ne franchira pas la limite.