Pourquoi les numéros de la série E sont-ils différents des puissances de 10?

Les nombres de la série E sont les valeurs courantes utilisées dans les résistances. Par exemple, les valeurs E6 sont:

• 1.0
• 1,5
• 2.2
• 3.3
• 4.7
• 6.8

Comme vous pouvez le voir, chacun est à environ . Mais je me demande pourquoi ce ne sont pas les puissances de arrondies à 2 chiffres significatifs. 10$10^\frac16$$10^\frac16$

• $10^\frac16 \approx 1.4678$
• $10^\frac26 \approx 2.1544$
• $10^\frac36 \approx 3.1623$
• $10^\frac46 \approx 4.6416$
• $10^\frac56 \approx 6.8129$

3.1623 ne devrait pas arrondir à 3.3, peu importe l'arrondi vers le haut ou vers le bas. Et en arrondissant au nombre le plus proche, 4,6416 arrondit à 4,6.

La même chose se produit dans les autres valeurs de la série E. Par exemple, les puissances de arrondies à 2 chiffres significatifs sont:$10^\frac{1}{12}$

• $10^\frac{0}{12} \approx 1.0$
• $10^\frac{1}{12} \approx 1.2$
• $10^\frac{2}{12} \approx 1.5$
• $10^\frac{3}{12} \approx 1.8$
• $10^\frac{4}{12} \approx 2.2$
• $10^\frac{5}{12} \approx 2.6$
• $10^\frac{6}{12} \approx 3.2$
• $10^\frac{7}{12} \approx 3.8$
• $10^\frac{8}{12} \approx 4.6$
• $10^\frac{9}{12} \approx 5.6$
• $10^\frac{10}{12} \approx 6.8$
• $10^\frac{11}{12} \approx 8.3$

Alors que les valeurs E12 sont:

• 1.0
• 1.2
• 1,5
• 1,8
• 2.2
• 2.7
• 3.3
• 3.9
• 4.7
• 5.6
• 6.8
• 8.2

Les nombres 2.7, 3.3, 3.9, 4.7 et 8.2 de E12 sont différents de leurs correspondants calculés ci-dessus.

Alors pourquoi la série E de nombres préférés est-elle différente des puissances de 10 arrondies au nombre le plus proche?

J'ai vraiment apprécié votre question et je l'ai définitivement augmentée. Votre question m'a fait réfléchir et faire quelques lectures supplémentaires sur le sujet. Et j'apprécie vraiment ce que j'ai appris du processus et que vous l'avez stimulé pour moi. Merci!

Contexte historique

Je ne vais pas revenir ici à l'époque babylonienne. (Probablement, tout le concept remonte aussi loin et plus loin.) Mais je vais commencer il y a environ un siècle.

Charles Renard a proposé quelques façons spécifiques d'organiser les nombres pour diviser les intervalles (décimaux). Il s'est concentré sur la division d'une plage de décades en 5, 10, 20 et 40 étapes, où le logarithme de chaque valeur d'étape formerait une série arithmétique. Et ceux-ci sont devenus connus sous le nom de R5, R10, R20 et R40. Bien sûr, il y a beaucoup d'autres choix que l'on pourrait faire. Mais c'étaient les siens à l'époque.

$10\cdot 10^\frac{0}{20}\approx 10$$10\cdot 10^\frac{3}{20}\approx 14$$10\cdot 10^\frac{6}{20}\approx 20$$10\cdot 10^\frac{9}{20}\approx 28$$10\cdot 10^\frac{12}{20}\approx 40$$10\cdot 10^\frac{15}{20}\approx 56$$10\cdot 10^\frac{18}{20}\approx 79$$10$$40$

Si vous souhaitez en savoir plus, ce qui précède et bien d'autres peuvent être trouvés dans une publication appelée NBS Technical Note 990 (1978) . (Le National Bureau of Standards [NBS] est maintenant NIST.)

Pendant ce temps, après la Seconde Guerre mondiale, il y a eu une forte poussée vers la standardisation des pièces manufacturées. Ainsi, divers groupes, à divers moments, ont travaillé assez dur pour «rationaliser» les valeurs standard pour faciliter la fabrication, l'instrumentation, le nombre de dents sur les engrenages, et ... enfin, presque tout.

Parcourez la série E de numéros préférés et prenez note des documents associés et de leur historique. Cependant, les documents mentionnés dans cette page Wikipedia ne couvrent pas la façon dont ces numéros préférés ont été choisis. Pour cela, il existe «ISO 497: 1973, Guide pour le choix des séries de nombres préférés et des séries contenant des valeurs plus arrondies de nombres préférés». et aussi "ISO 17: 1973, Guide pour l'utilisation des numéros préférés et des séries de numéros préférés". Je n'ai pas accès à ces documents, donc je n'ai pas pu les lire malgré le fait que l'ISO 497: 1973 en particulier semblait être un bon endroit où aller.

Série E (géométrique)

Je n'ai pas encore trouvé de détails sur l'algorithme précis appliqué il y a quelques décennies pour la question que vous avez posée. L'idée de «rationaliser les nombres» n'est pas une idée difficile, mais le processus exact qui a été appliqué dépasse de loin ma capacité à être certain de la rétro-ingénierie maintenant. Et je n'ai pas pu découvrir un document historique qui le révélait. Certains éléments ne peuvent être mis en lumière qu'en possédant les documents complets relatifs à leurs choix finaux. Et je n'ai pas encore trouvé ces documents. Mais je suis convaincu que j'ai pu déterminer quel devait être leur processus pour la question des résistances.

L'une des choses mentionnées dans NBS Pub. 990, est le fait que les différences et les sommes des nombres préférés ne devraient pas, en soi, être des nombres préférés. Il s'agit d'une tentative de fournir une couverture pour d'autres valeurs dans la plage de décennie lorsque les valeurs explicites ne répondent pas à un besoin (en utilisant deux valeurs dans un arrangement de somme ou de différence.)

Gardez à l'esprit que cette question de couverture est plus importante pour les séries telles que E3 et E6 et n'est presque pas du tout importante pour E24, par exemple, qui contient directement de nombreuses valeurs intermédiaires. Dans cet esprit, voici ce que je pense de leur pensée. Peut-être que cela ne s'écartera pas trop du raisonnement réel de leur processus de «rationalisation» des valeurs et de prise de décision finale quant aux valeurs préférées qu'ils ont finalement choisi d'utiliser.

Mon raisonnement

Il y a une feuille très agréable et simple à regarder qui résume les valeurs de la série E pour les résistances: Vishay E-Series .

Voici mon image des valeurs de la série E à deux chiffres qui inclut également les valeurs calculées:

Voici mon processus, compte tenu de ce qui précède, qui, je pense, peut être au moins similaire au raisonnement utilisé il y a de nombreuses années:

1. L'idée de couverture est la plus cruciale pour E3 et la moins cruciale pour E24. Un coup d'œil rapide à E3 suggère un problème avec les valeurs arrondies de 10, 22 et 46. Ce sont tous des nombres pairs et il n'y a aucun moyen possible de composer des nombres impairs en utilisant uniquement des nombres pairs. Donc, l'un de ces chiffres doit changer. Ils ne peuvent pas changer 10. Et pour changer un, les deux seules possibilités restantes sont: (1) 10, 22, 47; ou (2) 10, 23, 46. Mais l'option (2) a un problème: la différence entre 46 et 23 est 23, qui est lui-même un nombre dans la séquence. Et c'est une raison suffisante pour éliminer l'option (2). Cela ne laisse que l'option (1) 10, 22 et [47]. Cela détermine donc E3. (J'utiliserai [] pour entourer les valeurs de séquence modifiées et <> pour entourer les valeurs qui doivent être préservées de la séquence précédente.)
2. Pour E6, il doit conserver les choix de valeurs de E3, en insérant ses propres valeurs entre les deux. Nominalement, E6 est alors <10>, 15, <22>, 32, [47] et 68. Cependant, la différence entre 32 et 22 est 10 et c'est l'une des valeurs déjà dans la séquence. En outre, 47 moins 32 est 15. Encore une fois, 32 est impliqué dans une situation problématique. Ni 22, ni 47 ne peuvent être modifiés (ils sont hérités.) Le choix évident (et unique) est donc d'ajuster la séquence E6 à <10>, 15, <22>, [33], [47] et 68. Les valeurs de différence et de somme fournissent désormais également une couverture .
3. Pour E12, il doit conserver les choix de valeurs de E6, en insérant ses propres valeurs. En théorie, E12 est alors <10>, 12, <15>, 18, <22>, 26, [33], 38, [47], 56, <68> et 83. Le nombre 83 a déjà un problème, puisque 83 moins 68 est 15 et c'est déjà dans la séquence. 82 est l'alternative la plus proche. De plus, l'intervalle entre 22 et 26 est de 4, tandis que l'intervalle entre 26 et 33 est de 7. Les intervalles devraient, en gros, augmenter de façon monotone. Cette situation est grave et la seule option est d'ajuster 26 au prochain choix le plus proche, 27. La séquence est maintenant <10>, 12, <15>, 18, <22>, [27], [33], 38, [47], 56, <68> et [82]. Mais nous avons à nouveau un problème avec 38, avec une plage précédente de 5 et une plage suivante de 9. Encore une fois, la seule solution est d'ajuster 38 à son prochain choix le plus proche, 39.
4. E24 passe par un processus similaire. Il commence, nominalement, comme: <10>, 11, <12>, 13, <15>, 16, <18>, 20, <22>, 24, [27], 29, [33], 35, [39], 42, [47], 51, <56>, 62, <68>, 75, [82] et 91. Je pense que maintenant, vous pouvez appliquer la logique que j'ai appliquée plus tôt et obtenir la finale séquence de (sans laisser tomber <> mais en laissant l'indicateur []): 10, 11, 12, 13, 15, 16, 18, 20, 22, 24, [27], [30], [33], [36 ], [39], [43], [47], 51, 56, 62, 68, 75, [82] et 91.

Je pense que vous conviendrez que ce processus est rationnel et mène directement à ce que nous voyons aujourd'hui.

(Je ne suis pas passé par la logique appliquée à toutes les valeurs à 3 chiffres de la série E: E48, E96 et E192. Mais je pense qu'il y en a déjà assez et je pense que cela se déroulera de la même manière. Si vous trouvez quelque chose de différent , Je serai ravi de regarder aussi.)

Le processus de rationalisation final, vers les nombres préférés, ressemble alors à ceci:

Ci-dessus, vous pouvez voir les étapes impliquées et où les modifications sont apportées et comment elles sont ensuite reportées (lecture de droite à gauche, bien sûr.)

Remarques

• La somme ou la différence des nombres préférés a tendance à éviter d'être un nombre préféré, lorsque cela est possible. Ceci est nécessaire afin de fournir autant de couverture que possible.
• Le produit, ou quotient, ou toute puissance intégrale positive ou négative des nombres préférés sera un nombre préféré.
• La quadrature d'un nombre préféré dans la série E12 produit une valeur dans la série E6. De même, la mise au carré d'un nombre préféré dans la série E24 produit une valeur dans la série E12. Etc.
• Prendre la racine carrée d'un nombre préféré dans la série E12 produit une valeur intermédiaire dans la série E24 qui n'est pas présente dans la série E12. De même, prendre la racine carrée d'un nombre préféré dans la série E6 produit une valeur intermédiaire dans la série E12 qui n'est pas présente dans la série E6. Etc.

Ce qui précède est exactement vrai lorsque vous utilisez les valeurs théoriques plutôt que les valeurs préférées. (Les valeurs préférées ont été ajustées, il y aura donc une certaine déviation due à ce fait, en utilisant des valeurs préférées au lieu des valeurs exactes.)

Question intéressante qui m'a amené à creuser et à apprendre un peu l'histoire des problèmes et le raisonnement derrière les numéros préférés que je n'avais pas aussi bien compris auparavant.

Donc merci!