Pourquoi le débit de données de Nyquist est-il inférieur au débit de données de Shannon?

Dans le livre Computer Networks , l'auteur parle du débit de données maximal d'un canal. Il présente la formule de Nyquist:

C = 2H log 2 V (bits / sec)$_2$

Et donne un exemple de ligne téléphonique:

un canal silencieux de 3 kHz ne peut pas transmettre de signaux binaires (c'est-à-dire à deux niveaux) à un débit supérieur à 6 000 bps.

Il a ensuite expliqué l'équation de Shannon:

C = H log 2 (1 + S / N) (bits / sec)$_2$

Et donne (encore) un exemple de ligne téléphonique:

un canal d'une bande passante de 3000 Hz avec un rapport signal / bruit thermique de 30 dB (paramètres typiques de la partie analogique du système téléphonique) ne peut jamais transmettre beaucoup plus de 30 000 bps

Je ne comprends pas pourquoi le taux de Nyquist est bien inférieur au taux de Shannon, car le taux de Shannon prend en compte le bruit. Je suppose qu'ils ne représentent pas le même débit de données, mais le livre ne l'explique pas.

Pour comprendre cela, vous devez d'abord comprendre que les bits transmis ne doivent pas être purement binaires, comme indiqué dans l'exemple de la capacité de Nyquist. Disons que vous avez un signal compris entre 0 et 1V. Vous pouvez mapper 0v à [00] .33v à [01] .66v à [10] et 1v à [11]. Donc, pour tenir compte de cela dans la formule de Nyquist, vous changeriez le «V» de 2 niveaux discrets à 4 niveaux discrets, changeant ainsi votre capacité de 6000 à 12000. Cela pourrait alors être fait pour n'importe quel nombre de valeurs discrètes.

Il y a cependant un problème avec la formule de Nyquist. Puisqu'il ne tient pas compte du bruit, il n'y a aucun moyen de savoir combien de valeurs discrètes sont possibles. Shannon est donc venu et a trouvé une méthode pour placer essentiellement un maximum théorique sur le nombre de niveaux discrets que vous pouvez lire sans erreur.

Donc, dans leur exemple de pouvoir obtenir 30 000 bps, vous devez avoir 32 valeurs discrètes qui peuvent être lues pour signifier différents symboles.

Le débit de données de Nyquist (et non la fréquence de Nyquist) est le débit maximal pour un signal binaire (2 niveaux discrets).

Le débit de Shannon prend en compte les niveaux de signal, car le débit de données maximal n'est pas seulement fonction de la bande passante - si un nombre infini de niveaux de signal peut être utilisé, le débit de données peut être infini quelle que soit la bande passante.
Étant donné que le plus petit incrément de niveau possible dépend du rapport signal / bruit, c'est pourquoi il est inclus dans le taux de Shannon. Ainsi, pour l'exemple ci-dessus, il est affiché pour une bande passante de 3000 kHz et un SNR de 30 dB, vous pouvez transmettre des niveaux qui représentent chacun 5 bits d'informations.

Le rapport de puissance de 30 dB = 1000 à 1 peut être reconverti en tension par sqrt (1000) = ~ 32 niveaux distincts (5 bits). Si nous appliquons cela au théorème plus simple de Hartley, nous obtenons 2B * log2 (32) = 30 kHz pour B = 3Khz. Ainsi, 5 bits d'informations multipliés par le débit de données Nyquist de 2B (= 6000 dans cet exemple) équivalent à 30 000 bits / s.

L'un décrit la vitesse d'échantillonnage, l'autre la quantité de données que vous pouvez transférer. La fréquence d'échantillonnage minimale requise n'est fonction que de la fréquence la plus élevée que vous souhaitez représenter correctement. Cela est indépendant de la quantité de bruit sur le canal. Cependant, avec moins de bruit, vous pouvez transférer plus d'informations par échantillon. Autrement dit, Nyquist dit quel doit être le taux d'échantillonnage et Shannon dit combien de bits vous obtenez ensuite par échantillon.