$$\newcommand{\E}{\mathbb{E}}$$

Préface

Cette question est liée à celle-ci sur l'élasticité de la substitution intertemporelle et celle-ci sur la définition de l'aversion absolue au risque . (Il est lié au second dans la mesure où la définition de l'aversion relative au risque peut être motivée par la quantité qui résout

$$U(C(1-RRA/2)) = \E[U(C(1-\epsilon))\mid C].$$

Question

Dans cette question, je veux savoir comment calculer l' aversion relative au risque des préférences d'Epstein-Zin.

Soit C = (C_0, C_1, ...) une séquence de consommation $C=(C_0, C_1,...)$et $C_t^+ = (C_t, C_{t+1}, ...)$ . Supposons maintenant que j'ai des préférences d'Epstein-Sin,

$$\begin{align*} U_t(C_t^+) &= f(C_t, q(U_{t+1}(C_{t+1}^+))) \\ U_t &= \left \{(1-\beta) C_t^{1-\rho} + \beta \left(\E_t[U_{t+1}^{1-\gamma}]\right)^{\frac{1-\rho}{1-\gamma}} \right\}^{\frac{1}{1-\rho}}, \end{align*}$$ où $f$ est l'agrégateur de temps et $q$ est le conditionnel opérateur équivalent de certitude. Autrement dit, $$f(c,q) = ((1-\beta) c^{1-\rho} + \beta q^{1-\rho})^{\frac{1}{1-\rho}}$$ et $$q_t = q(U_{t+1}) = \left(\E_t[U_{t+1}^{1-\gamma}]\right)^{\frac{1}{1-\gamma}}.$$ Comment puis-je montrer que le coefficient d'aversion relative au risque est $\gamma$ ?

Remarques

L'application de la définition habituelle de l'aversion relative au risque semble nécessiter des précautions. Si nous devions calculer $RRA = -c u''(c)/u'(c)$ , nous devrions faire attention aux indices de temps sur $c$ . Le calcul de ces dérivées par rapport à $C_t$ ne nous donnerait pas la bonne réponse. Il devrait probablement être

$$RRA = - C_{t+1} \left . \frac{\partial^2 U_t}{\partial C_{t+1}^2} \middle / \frac{\partial U_t}{\partial C_{t+1}} \right. .$$