La relation de préférence lexicographique ne peut pas être représentée par une fonction d'utilité

Je suis coincé dans l'exercice suivant, relatif aux relations de préférence et à la fonction d'utilité de von Neumann-Morgenstern .

Un agriculteur veut creuser un puits dans un champ carré $[0,1000]\times[0,1000]$ . Les préférences de l'agriculteur sur les emplacements possibles sont lexicographiques, à savoir:

• Si puis ( x 1 , y 1 ) ≺ ( x 2 , y 2 ) pour tous y 1 , y $x_1<x_2$$(x_1,y_1)\prec(x_2,y_2)$$y_1,y_2$ .
• Si , alors ( x , y 1 ) ≺ ( x , y 2 ) ssi y 1 < y 2 .$x_1=x_2=x$$(x,y_1)\prec(x,y_2)$$y_1 < y_2$

Initialement, supposons que l'emplacement du puits doit avoir des coordonnées entières. Existe-t-il une relation de préférence sur les loteries qui satisfasse les axiomes de von Neumann-Morgenstern et étend la relation de préférence lexicographique? Si oui, quelle est une fonction utilitaire linéaire qui représente cette relation?

Je pense que la réponse est oui, et une fonction d’utilité linéaire possible est: .$u(x,y)=100000x + y$

Supposons maintenant que l'emplacement du puits peut avoir de vraies coordonnées. Prouver qu'il n'y a pas de fonction utilitaire linéaire qui représente la relation de préférence sur les loteries. Lequel des axiomes de von Neumann-Morgenstern est violé par la relation de préférence sur les loteries?

Ici je suis coincé. Je ne comprends pas pourquoi la fonction utilitaire que j'ai suggérée ci-dessus ne fonctionne pas? Et quel axiome est violé ici?

On peut dire plus généralement que les préférences lexicales ne sont pas représentables avec une fonction d'utilité continue. Les préférences lexicales ne sont pas continues. Notez la définition d'une relation de préférence continue.

La relation de préférence est continue si, pour toute séquence de paquets de consommation$\succeq$ et ( y i ) i ∈ N avec x i → x , y i → y et x i ⪰ y i pour chaque i ∈ N , alors x ⪰ $(x_{i})_{i \in \mathbb{N}}$$(y_{i})_{i \in \mathbb{N}}$$x_{i} \to x$$y_{i} \to y$$x_{i} \succeq y_{i}$$i \in \mathbb{N}$$x \succeq y$ . C'est-à-dire que la continuité préserve la relation au point limite.

Considérons défini par x i = ( $(x_{i})_{i \in \mathbb{N}}$et(y$x_{i} = (\frac{1}{2^{i}}, 0)$ défini par y i = ( 0 , 1 ) . De toute évidence, x i ⪰ y i pour chaque i ∈ N . Cependant, x i → ( 0 , 0 ) alors que y i → ( 0 , 1 ) . Donc, cette relation de préférence n'est pas conservée au point limite.$(y_{i})_{i \in \mathbb{N}}$$y_{i} = (0, 1)$$x_{i} \succeq y_{i}$$i \in \mathbb{N}$$x_{i} \to (0, 0)$$y_{i} \to (0, 1)$

Plus généralement encore, aucune fonction d’utilité ne représente la relation de préférence lexicale. Je prouve pour , mais cet argument s'étend à R n + en se projetant dans R 2 + .$\mathbb{R}_{+}^{2}$$\mathbb{R}_{+}^{n}$$\mathbb{R}_{+}^{2}$

Preuve : Supposons au contraire qu’une fonction d’utilité représente≻lex. Nous avons doncu(x,1)>u(x,0), en tant que(x,1)≻(x,0). Nous construisons l'intervalleI(x)=[u(x,0$u : \mathbb{R}_{+}^{2} \to \mathbb{R}$$\succ_{lex}$$u(x, 1) > u(x, 0)$$(x, 1) \succ (x, 0)$ . Maintenantpour tout deux distincts x , y ∈ R + , I ( x ) ∩ I ( y ) = ∅ que nous avons soit x > y ou y > x (si WLOG, on a ( x , 0 ) ≻ ( y , 1 ) ).$I(x) = [u(x, 0), u(x, 1)]$$x, y \in \mathbb{R}_{+}$$I(x) \cap I(y) = \emptyset$$x > y$$y > x$$(x, 0) \succ (y, 1)$

Définir , et que φ : R + → I donnée par la φ ( x ) = I ( x ) . Observez que ϕ est une injection, chaque I ( x ) , I ( y ) étant disjoint pour x , y distinct.$\mathbb{I} = \{ I(x) : x \in \mathbb{R}_{+} \}$$\phi : \mathbb{R}_{+} \to \mathbb{I}$$\phi(x) = I(x)$$\phi$$I(x), I(y)$$x, y$

On notera que est dense dans R . Il existe donc un nombre rationnel dans chaque intervalle. Définir$\mathbb{Q}$$\mathbb{R}$ tel que τ ( I ( x ) ) renvoie un nombre rationnel contenu dans I ( x ) . Donc, τ est une injection. Nous avons τ composé avec φ une injection,qui implique | R + | ≤ | Q + | , une contradiction. QED.$\tau : \mathbb{I} \to \mathbb{Q}$$\tau(I(x))$$I(x)$$\tau$$\tau$$\phi$$|\mathbb{R}_{+}| \leq |\mathbb{Q}_{+}|$

Considérez les emplacements (1) et (2) ( 0.0000005 , 10 ) . U ( x 1 , y 1000 ) que la fonction que vous proposez possède cet attribut. Parce que les valeurs réelles de seront toujours plus utiles que 1 000 unités de Y. Mais si X est un nombre réel, le problème change. Considérez toute valeur arbitraire de$(0.000001,1)$$(0.0000005,10)$. U ( x 2 , y 2 ) =10,05. Cependant, x 2 < x 1 , il ne s’agit donc pas d’un ordre lexicographique. Il est seulement avec la contrainte supplémentaire que les valeurs dexetysoientnombres entiers∈[$U\left(x_1,y_1\right) = 1.1$$U\left(x_2,y_2\right) = 10.05$$x_2 < x_1$$x$$y$$\in[0,1000]$ et y impliquent que x i / y i peut être arbitrairement grand ou petit, aucune fonction linéaire ne peut garantir un classement lexicographique sur toutes les valeurs possibles de x et y . En d’autres termes, spécifiez une fonction d’utilité de la forme U = β ⋅ X + Y Si X doit être un entier, tant que β > 1000 ce sera lexicographique sur le domaine du problème car une augmentation d’un unité$x$$y$$x_i / y_i$$x$$y$

$$U = \beta \cdot X + Y$$ $X$$\beta>1000$ β > 1000 qui aurait résolu le problème de nombre entier. Pour les changements dans X > 1 / β, cela continue à fonctionner (conservez les préfixes lex.) Dans le problème des nombres réels. Mais pour les changements de Δ X < 1000 / β : U ( X + Δ X , 0 ) = β ( X + Δ X $X$$Y$$X$$\beta > 1000$$X > 1/\beta$$\Delta X < 1000 / \beta$ Parce que, par construction, β ⋅ Δ X < 1000 . Doncces préférences ne sont pas lexicographique survaleurs arbitraires de X et Y . $$U(X + \Delta X,0) = \beta (X+\Delta X) < \beta X + 1000= U(X,1000)$$ $\beta \cdot \Delta X < 1000$$X$$Y$