Lorsque je suivais un cours sur la théorie de la consommation, l’économie avait toujours un seul consommateur, représenté par une fonction d’utilité positive monotone $ u (x, y) $ et un revenu $ I $. Étant donné les prix $ p_x $ et $ p_y $, il est possible de calculer les demandes du consommateur pour les produits $ x $ et $ y $.
Je traite maintenant avec un type d'économie différent: il y a de nombreux consommateurs, chacun d'entre eux ne veut qu'une seule unité de chaque produit. Chaque consommateur est représenté par trois valeurs positives: $ u_x $ (utilitaire pour avoir $ x $), $ u_y $ (utilitaire pour avoir $ y $) et $ u_ {xy} \ geq \ max (u_x, u_y) $ (utilitaire pour avoir à la fois $ x $ et $ y $). Étant donné les prix $ p_x $ et $ p_y $, chaque consommateur achète soit $ x $, soit $ y $, soit les deux, selon l’utilité nette la plus élevée (utilité du produit / s moins le prix). Il est donc possible de calculer les demandes globales pour $ x $ et $ y $.
Ma question est la suivante: existe-t-il un moyen naturel / standard de convertir ces deux types d’économies?
Par exemple, étant donné une fonction d'utilité $ u (x, y) $ et un revenu $ I $ pour un seul consommateur, est-il possible de construire un ensemble de consommateurs avec différents $ u_x $, $ u_y $ et $ u_ {xy} $, de telle sorte que les courbes de demande dans les deux économies soient les mêmes?
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Réponses:
La fonction de distribution cumulative (CDF) décrit la probabilité qu'une variable aléatoire X avec une distribution de probabilité donnée ait une valeur inférieure ou égale à x. C’est-à-dire: $$ F_X (x) = P (X \ leq x) $$
Dans ce contexte, considérez $ X $ comme l’évaluation d’un demandeur d’unité particulière. Les demandes sont distribuées avec une certaine distribution de probabilité. Ainsi, le CDF vous indique la probabilité qu'un demandeur tiré au hasard ait une évaluation au moins égale à $ x $. Si tout le monde demande l'une ou l'autre unité si le prix $ p \ leq X $ et 0 sinon, cela donne également une fonction de demande:
$$ Q_d (p) = P (X \ geq p) = 1 - P (X \ leq p) $$
parce qu'à chaque prix, $ p $, toute personne dont l'évaluation est au moins égale à $ p $ achètera sa propre unité. Mais la fraction des personnes dont l'évaluation est au moins égale à $ p $ est égale à un moins la fraction des personnes dont l'évaluation est $ p $ ou moins.
Ensuite, considérons un seul ménage avec une fonction de demande qui ressemble à $ 1 - P (X \ leq p) $. Ce ménage aura à tout prix une demande de biens identique à la demande collective des demandeurs d’unités susmentionnée.
Je pense que cela généralise le cas plus complexe que vous présentez dans la question, mais je n’ai pas précisé les détails.
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