Fonction utilitaire Money: Les contraintes budgétaires deviennent-elles des fonctions utilitaires?

Je suis en train de lire la "fonction d'utilité de la métrique" (également appelée fonction de revenu minimum ou fonction de compensation directe).

Par définition, il est défini comme:

$$ m (\ text {p}, \ text {x}) \ equiv e (\ text {p}, u (\ text {x})) $$

Hal Varian écrit dans Analyse microéconomique (page 109):

il est facile de voir que, pour un $ \ text {x} $, $ u (\ text {x}) $ fixe est fixé, donc m une fonction de dépense: sa monotone, homogène, concave dans $ \ text {p} $, etc. Ce qui n’est pas si évident, c’est que lorsque $ \ text {p} $ est corrigé, $ m (\ text {p}, \ text {x}) $ est en fait une fonction utilitaire.

La preuve est simple: pour les prix fixes, la fonction de dépense augmente en termes d’utilité: si vous voulez un niveau d’utilité supérieur, vous devez dépenser plus d’argent. En fait, la fonction de dépense augmente strictement en dollars des États-Unis pour les préférences locales continues et non satisfaites.

Par conséquent, pour $ \ text {p} $, $ m (\ text {p}, \ text {x}), $ est une transformation monotone de la fonction utilitaire et donc elle-même un utilitaire.

Cela signifie-t-il (la déclaration en caractères gras) que nous convertissons essentiellement la contrainte / ligne budgétaire de notre consommateur en courbes d'indifférence lorsque les prix sont fixés?

$ m (\ mathbf p, \ mathbf x) $ spécifie le montant minimum d'argent requis pour qu'un consommateur atteigne la même utilité qu'un paquet consommé $ \ mathbf x $, en prenant les prix $ \ mathbf p $ tels qu'ils sont indiqués. En d'autres termes, puisque tous les ensembles de la même courbe d'indifférence que $ \ mathbf x $ ont la même valeur d'utilité, et pour réaliser cet utilitaire, il faut au moins un revenu de $ m (\ mathbf p, \ mathbf x) $, nous pouvons ainsi établir une correspondance individuelle entre les niveaux de services publics et les niveaux de revenus. Comme l’utilité est ordinale, nous pourrions aussi bien utiliser le revenu comme mesure d’utilité.

Cela ne signifie toutefois pas que la ligne budgétaire du consommateur est convertie en sa courbe d'indifférence; les deux restent des objets distincts. Pour voir cela, considérons un cas de deux produits. Avec des prix fixes, la pente de la ligne budgétaire est $ p_2 / p_1 $, ce qui est constant pour tous les $ \ mathbf x $. En revanche, la pente des courbes d'indifférence est généralement une fonction non constante sur $ \ mathbf x $: \ begin {equation} \ frac {\ partial x_2} {\ partial x_1} = \ frac {\ partial e (\ mathbf p, u (\ mathbf x)) / \ partial x_1} {\ partial e (\ mathbf p, u (\ mathbf x )) / \ partial x_2} = \ frac {MU_1 (\ mathbf x)} {MU_2 (\ mathbf x)} \ ,. \ end {equation}

La fonction d'utilité de la métrique de l'argent change simplement l'unité de mesure de l'utilité d'utils en dollars, ce qui est légitime grâce à l'ordinalité d'utilité. Cela ne change cependant pas les objets mathématiques sous-jacents de manière significative.