Axiome faible de l'application des préférences révélées

Ce qui suit est un problème que je traite lié à Axiome faible de préférence révélée. J'ai donné ma solution ci-dessous à la situation. Ce que je ne comprends pas, c'est comment WARP n'est pas violé?

Andrew, Barbara et Celia présentent leurs candidatures à un cabinet d’avocats à la recherche de candidats pour trois postes.

L'ensemble des alternatives du cabinet d'avocats est l'ensemble des décisions d'embauche possibles:

$X = \{ \phi, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a,b\}, \{b,c\}, \{a,c\}, \{a,b,c\} \}$

Pour tout , définissez la puissance de Y comme$Y \subset \{a,b,c\}$

.$2^{Y} \equiv \{Z | Z \subset Y \}$

est l'ensemble des décisions d'embauche que le cabinet peut prendre lorsqu'il reçoit des demandes des avocats de Y.$2^{Y}$

Le budget de cabinet d'avocats définit sont les ensembles de décisions d' embauche peut faire après avoir reçu des applications à partir d' une combinaison d'Andrew, Barbara et Celia:$B \in \mathcal{B}$

$\mathcal{B} = \{2^{Y} |Y \subset \{a, b, c \} \}$

1) Lorsqu'il recevra les candidatures d'Andrew et Barbara, il choisira d'embaucher Barbara (et non Andrew): -

$C(2^{\{a,b\}}) = \{b\}$

2) Lorsqu'il recevra les candidatures de Barbara et Celia, il choisira d'embaucher Celia (et non Barbara):

$C(2^{\{b,c\}}) = \{c\}$

$C(2^{\{a,b,c\}})$

Ma solution:

Selon Mas-Colell et al (Définition 1.C.1), l’axiome faible de la préférence révélée dit que si x est choisi quand y est disponible, il ne peut y avoir aucun budget défini contenant les deux alternatives pour lesquelles y est choisi et x n'est pas.

$Barbara \succsim_R Andrew$$Celia \succsim_R Barbara$

Nous voyons ici que puisque Barbara n’est pas choisie plus que Celia, le WARP est violé. Parce que WARP impliquerait que Barbara est choisie partout, alors que Barbara est un choix dans l'ensemble. Ainsi, lorsque Andrew, Barbara et Celia présenteront leur candidature et que WARP violera la relation susmentionnée, le cabinet n’engagera que Andrew.

Ce que je ne comprends pas, c'est comment WARP n'est pas violé?

Parce que WARP impliquerait que Barbara est choisie partout, alors que Barbara est un choix dans l'ensemble.

Ce n'est pas vrai. Au lieu de cela, WARP dirait qu’il n’est pas possible de choisir Andrew si Andrew et Barbara font tous les deux partie du choix , ce qui est différent de ce que vous affirmez ci-dessus.

Ce n'est pas parce que est choisi dans l'ensemble que l'on doit toujours choisir , par exemple dans l'ensemble . Cela signifie simplement que est révélé - préféré à , mais cela ne signifie pas que est préféré à toutes les autres alternatives possibles (en particulier, ). Par exemple, la préférence correspond parfaitement au modèle de choix révélé de la firme.$b$$\{a,b\}$$b$$\{b,c\}$$b$$a$$b$$c$$c\succ b\succ a$

Ecrivez explicitement les deux conditions: dit simplement que chaque fois que les quatre choix --- engagent pas un, embaucher seul, embaucher seulement, embaucher les deux - sont présents, la firme embauche seulement. De même, dit que chaque fois que les quatre choix - embaucher personne, embaucher seulement, embaucher seulement, embaucher les deux - sont présents, la firme embauche seulement. Ces deux sont compatibles avec WARP (pour

$$\begin{align} C(\color{red}{\varnothing},\color{red}{\{a\}},\{b\},\color{red}{\{a,b\}})&=\{b\}\tag{1}\\ C(\color{red}{\varnothing},\color{red}{\{b\}},\{c\},\color{red}{\{b,c\}})&=\{c\}\tag{2} \end{align}$$ $(1)$$a$$b$$b$$(2)$$b$$c$$c$$(1)$, le x dans votre définition citée est et y est ; pour , x est et y est ).$a$$b$$(2)$$b$$c$

Pour les restrictions sur , en écrivant cela explicitement, nous obtenons où les éléments coloriés en rouge se révèlent inférieurs selon et .$C(2^{\{a,b,c\}})$

$$C(\color{red}{\varnothing},\color{red}{\{a\}},\color{red}{\{b\}},\color{black}{\{c\}},\color{red}{\{a,b\}},\color{black}{\{a,c\}},\color{red}{\{b,c\}},\color{black}{\{a,b,c\}})=\{\{a\},\{a,c\},\{a,b,c\}\}$$ $(1)$$(2)$