Décision optimale pour une fonction d’utilité parfaite des substituts?

Étant donné que et m = $u(x_1,x_2)=4x_1+14x_2$, je choisirai la décision optimale parmi:$m=\frac{1}{2}x_1+\frac{3}{2}x_2$

$a)(2m,\frac{2m}{3})$

$b)(2m,0)$

$c)(\frac{m}{2},0)$

$d)(0,\frac{2m}{3})$

La bonne réponse est $(d)$

Mais je ne sais pas comment trouver ça, ce que j'ai fait: Et le taux marginal de substitution est de-

$a)$$c)$

Répondre a n'est pas possible car il se réduit à

$m = \frac{1}{2} 2m + \frac{3}{2}\frac{2m}{3} = 2m$

$m\neq\frac{1}{4}m$

Reste les réponses b ou d.

Pour la réponse b, nous avons

$u(2m,0)=8m$

et pour la réponse d,

$u(0,\frac{2m}{3}) = \frac{28}{3}m = (9+\frac{1}{3})m$

$(9+\frac{1}{3}) > 8$

Dans le cas général, pour trouver le maximum de votre fonction d’utilité étant donné une contrainte monétaire, vous pouvez formaliser et maximiser la fonction lagrangienne suivante

$L(x_1,x_2,\lambda)=u(x_1,x_2)+\lambda(m-p_1 x_1 - p_2 x_2)$

$p_1$$p_2$$\frac{1}{2}$$\frac{3}{2}$

Suite

Comme d'habitude, l'histoire des équations est de première importance .

$x_1$$x_2$$x_1$$x_2$

$\lambda = 8$$\lambda = \frac{28}{3}$

$\lambda$$u(x_1,x_2)$$m$$1$

$m$$1$$x_1$$u$$8$$x_2$$u$$\frac{28}{3}$

Quel bien l'individu a-t-il choisi?

Le problème de maximisation de l'utilité est:

$\max\limits_{(x_1, x_2)\in\mathbb{R}^2_+} 4x_1 + 14x_2 \\ \text{s.t.} \ \ m = \frac{1}{2}x_1 + \frac{3}{2}x_2$

$x_1$

$\max\limits_{x_1} 4x_1 + 14\left[\frac{2}{3}\left(m - \frac{1}{2}x_1\right)\right] \\ \text{s.t.} \ \ 0 \leq x_1 \leq 2m$

$4x_1 + 14\left[\frac{2}{3}\left(m - \frac{1}{2}x_1\right)\right]$$x_1$$\left(4- \frac{14}{3}\right) = \frac{-2}{3} < 0$$x_1$$x_1$$x_1 = 0$$x_2 = \frac{2m}{3}$