CES: Fonction de production: élasticité de substitution

Je dois prouver que $\sigma = 1/(1 + \rho)$ pour la fonction de production CES:

$$\begin{align} q = (l^\rho + k^\rho)^\frac{1}{\rho} \end{align}$$

J'ai découvert que je devais résoudre l'équation suivante:

$$\begin{align} \sigma = \frac{\frac{d(k/l)}{k/l}}{\frac{dRTS}{RTS}} = \frac{d(k/l)}{dRTS}\frac{RTS}{k/l} = \frac{d(k/l)}{d((k/l)^{1-\rho})}\frac{(k/l)^{1-\rho}}{k/l} \end{align}$$

Mais je ne sais pas comment réécrire cette expression $\sigma = 1/(1 + \rho)$

La fonction de production est:

$$q = (l^\rho + k^\rho)^\frac{1}{\rho}$$ Les MPL et MPK sont respectivement: $$q_l = \frac{\partial q}{\partial l} = \frac{1}{\rho} \cdot (l^\rho + k^\rho)^{\frac{1}{\rho}-1} \cdot \rho\cdot l^{\rho-1}$$ $$q_k = \frac{\partial q}{\partial k} = \frac{1}{\rho} \cdot (l^\rho + k^\rho)^{\frac{1}{\rho}-1} \cdot \rho\cdot k^{\rho-1}$$ Quel est le taux auquel l peut être substitué à k?

Où $f$ est une fonction à valeur réelle différenciable d'une seule variable, nous définissons l'élasticité de f (x) par rapport à x (au point x) comme étant

$$\sigma(x) = \frac{x f'(x)}{f(x)}\equiv \frac{\frac{df(x)}{f(x)}}{\frac{dx}{x}}$$

1. Faites un changement de variables tel que $u = ln(x)$ ($\rightarrow x = e^u$) et $v=ln(f(x))$ ($\rightarrow f(x) = e^v$)
2. Notez que $v' = f'(x) / f(x)$ et $u'=\frac{1}{x}$ pour que $$\frac{v'}{u'}=\frac{\frac{f'(x)}{f(x)}}{\frac{1}{x}} = \sigma(x)$$
3. Notez que c'est aussi le résultat que vous obtenez en résolvant pour $\frac{d ln f(x)}{d ln(x)}$ parce que $\frac{d ln f(x)}{d ln(x)} = \frac{d v}{d u}$ que nous résolvons via la règle de la chaîne: $$\frac{d v}{d u} = \frac{d v}{d x} \cdot \frac{d x}{d u} = \frac{f'(x)}{f(x)} \cdot x$$ qui se trouve être exactement la définition de $\sigma(x)$.

Abordons maintenant votre problème d'élasticité.

$$ln(\frac{q_k}{q_l})= log(\frac{\frac{1}{\rho} \cdot (l^\rho + k^\rho)^{\frac{1}{\rho}-1} \cdot \rho\cdot l^{\rho-1}}{\frac{1}{\rho} \cdot (l^\rho + k^\rho)^{\frac{1}{\rho}-1} \cdot \rho\cdot k^{\rho-1}}) = ln (\frac{l}{k})^{\rho-1} = (\rho-1) ln (l/k) = (1 - \rho) ln (k/l)$$ $$\Rightarrow ln (k/l) = \frac{1}{1-\rho} \cdot ln(\frac{q_k}{q_l})$$

Donc $\sigma = \frac{1}{1-\rho}$