Utilité quasi linéaire: l'optimalité Pareto implique une maximisation totale de l'utilité?

J'ai lu que si nous avons une utilité quasi-linéaire pour tous les consommateurs, alors toute allocation optimale pareto maximise la somme des niveaux d'utilité de tous les consommateurs. C'est:

$\textbf{What we know:}$

1) u^{i} (m^{i}, x^{i}) = m^{i} + ϕ^{i} (x^{i}) \forall i = 1, . . ., I

$1)\quad u^i(m^i,x^i)=m^i+\phi^i(x^i)\; \quad \forall i=1,...,I$

2) ϕ^{i} () is continous and strictly increasing (but not necessarily differentiable)

$2)\quad\phi^i(\;)\;\text{is continous and strictly increasing (but not necessarily differentiable)}$

3) An allocation, x satisfies \neg \exists \hat{x} s . t . {\hat{m}}^{i} + ϕ^{i} ({\hat{x}}^{i}) \geq m^{i} + ϕ (x^{i}) \forall i

$3)\quad \text{An allocation,}\,x\, \text{satisfies}\;\neg\,\exists\,\hat{x}\; s.t. \;\hat{m}^i+\phi^i(\hat{x}^i)\geq m^i+\phi(x^i)\;\forall i$

and {\hat{m}}^{i} + ϕ^{i} ({\hat{x}}^{i}) > m^{i} + ϕ (x^{i}) for some i

$\text{and} \quad \hat{m}^i+\phi^i(\hat{x}^i)> m^i+\phi(x^i)\,\text{for some}\,i$

$\textbf{What to show:}$

x solves m a x \sum_{i = 1}^{I} m^{i} + ϕ^{i} (x^{i})

$x\;\text{solves}\;max\sum_{i=1}^Im^i+\phi^i(x^i)$

Quelqu'un peut-il en apporter la preuve? Toute aide serait grandement appréciée!

$\textbf{Edit:}\,$ je ne sais pas si c'est le bon chemin, mais par la propriété croissante stricte de , les préférences satisfont la non-satiété locale, ce qui implique qu'elles satisfont le premier théorème du bien-être. Maintenant, si je pouvais comprendre si toutes les allocations pareto optimales sont des équilibres compétitifs avec une utilité quasi-linéaire, je suis peut-être sur quelque chose! $\phi(\,)$

microeconomics pareto-efficiency proof DornerA
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Êtes-vous sûr que sous est identique à sous ? Une contrainte de budget / ressources semble faire défaut. Et avec cela, vous devriez pouvoir obtenir ce que vous voulez en additionnant les inégalités dans (3) sur .

m^{i}

$m^i$

{\hat{x}}^{i}

$\hat x^i$

m^{i}

$m^i$

x^{i}

$x^i$

i

$i$

Herr K.

@HerrK. C'est un excellent point et une erreur plutôt embarrassante de ma part, je vais changer cela

DornerA

Existe-t-il des propriétés pour la fonction de X? Par exemple, si elle est strictement croissante mais concave, l'allocation de PO où un agent prend la dotation totale devrait donner moins d'utilité totale que la répartition égale de cette allocation entre deux agents.

123

@ 123 il n'y a pas d'autres hypothèses sur que celles listées ci-dessus malheureusement

ϕ^{i} (\frac{}{})

$\phi^i(\frac{}{})$

DornerA

Réponses:

Edit: les cas Edge sucent; voir les commentaires. Voir également le chapitre 10 du MWG, section C, D.

Supposons que résout $(\vec x^*, \vec m^*)$

max \sum_{i = 1}^{I} m_{i} + ϕ_{i} (x_{i})

$\max \sum^I_{i=1} m_i + \phi_i(x_i)$

mais n'est pas Pareto optimal.

\begin{aligned} ⟹ \exists (x_{i}^{'}, m_{i}^{'}) s.t. & u_{i} (x_{i}^{'}, m_{i}^{'}) \geq u_{i} (x_{i}^{*}, m_{i}^{*}) \forall i = 1, \dots, I \\ u_{i} (x_{i}^{'}, m_{i}^{'}) > u_{i} (x_{i}^{*}, m_{i}^{*}) for some i \end{aligned}

$\begin{align} \implies \exists \ (x_i', m_i') \quad \text{s.t.} \quad & u_i(x_i', m_i') \geq u_i(x_i^*, m_i^*) \quad \forall \ i = 1,\cdots,I \\ & u_i(x_i', m_i') > u_i(x_i^*, m_i^*) \quad \text{for some} \ i \end{align}$

⟹ \sum_{i = 1}^{I} m_{i}^{'} + ϕ_{i} (x_{i}^{'}) > \sum_{i = 1}^{I} m_{i}^{*} + ϕ_{i} (x_{i}^{*})

$\implies \sum^I_{i=1} m'_i + \phi_i(x'_i) > \sum^I_{i=1} m^*_i + \phi_i(x^*_i)$

ce qui est une contradiction. Si nous avons une solution au problème de maximisation de l'utilité, elle doit être optimale de Pareto.

(Notez que cela vient des propriétés continues et croissantes de ) $\phi(\cdot)$

Supposons que est une allocation optimale de Pareto réalisable, mais ne résout pas $(\vec x^*, \vec m^*)$

max \sum_{i = 1}^{I} m_{i} + ϕ_{i} (x_{i})

$\max \sum^I_{i=1} m_i + \phi_i(x_i)$

Parce que nous traitons comme numéraire et que est strictement croissant, nous savons que est localement non saturé. L'allocation Pareto devrait être tout simplement faisable. $m_i$ $\phi_i(\cdot)$ $u_i(\cdot)$

\exists (x_{i}^{'}, m_{i}^{'}) s.t. \sum_{i = 1}^{I} m_{i}^{'} + ϕ_{i} (x_{i}^{'}) > \sum_{i = 1}^{I} m_{i}^{*} + ϕ_{i} (x_{i}^{*}) ⟹ \sum_{i = 1}^{I} ϕ_{i} (x_{i}^{'}) > \sum_{i = 1}^{I} ϕ_{i} (x_{i}^{*})

$\exists \ (x_i', m_i') \quad \text{s.t.} \quad \sum^I_{i=1} m'_i + \phi_i(x'_i) > \sum^I_{i=1} m^*_i + \phi_i(x^*_i)\\ \implies \boxed{ \sum^I_{i=1} \phi_i(x'_i) > \sum^I_{i=1} \phi_i(x^*_i)}$

Si cela est vrai parce que cette allocation alternative donne simplement à un individu plus de , toutes choses égales par ailleurs, alors l'allocation alternative est irréalisable. Nous aurions donc une contradiction. $x$

Si cela est vrai parce que dans l'allocation alternative, quelqu'un d'autre est alloué plus et qu'une seule autre personne est allouée moins, alors l'allocation d'origine ne serait pas optimale de Pareto. Supposons que c'était le cas. Si vous avez pris l'allocation d'origine et déplacé dans le sens de la nouvelle allocation, alors vous auriez besoin d'un échange correspondant dans le bien numéraire, , pour garder celui qui perd au moins au même niveau d'utilité. Mais les échanges portant uniquement sur le bien numérique ne peuvent jamais changer l'utilité agrégée sommée . À partir de l'allocation d'origine, si vous pouvez échanger contre $x$ $x$ $m$ $x$ $m$ $x$ et améliorer quelqu'un sans blesser personne, vous n'étiez pas à l'optimum de Pareto, et si vous ne pouvez pas échanger contre pour améliorer quelqu'un, vous ne pouvez pas augmenter l'utilité agrégée cumulée, ce qui signifie que l'allocation d'origine était un solution au problème de maximisation. $m$ $x$

Cette logique s'applique quelle que soit la façon dont vous réorganisez entre plusieurs personnes. $x$

$\square$

Cavalerie Kitsune
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Je vois que le PO a accepté cette réponse mais cela ne prouve pas sa proposition réelle. OP affirme que toute attribution de bon de commande résout le problème de maximisation donné. Cette preuve montre qu'une solution au problème de maximisation est PO. Cependant, ce résultat découle immédiatement du fait que la fonction d'utilité indique clairement que les préférences satisfont la non-satiété locale. Et nous savons qu'il n'y a pas nécessairement de bijection entre les points CE et PO. La proposition originale est probablement fausse, selon les restrictions imposées à la fonction de X. (Utilisation du téléphone si difficile à utiliser LaTex - désolé.)

123

Je ne pense pas que la proposition soit vraie dans les environnements standard d'économie pure. Voici le contre-exemple: economics.stackexchange.com/a/15146/11824

Amit

@Amit, je pense que vous avez raison. Cependant, la déclaration semble tenir à la condition supplémentaire que l'attribution de bon de commande est telle que pour tous les consommateurs : . Ou bien si le problème permet des valeurs négatives pour . Dans ce cas, votre contre-exemple ne serait pas PO.

(x, m)

$(x,m)$

i

$i$

m_{i} > 0

$m_i>0$

m_{i}

$m_i$

Giskard

@KitsuneCavalry Voici l'erreur: "D'après l'allocation d'origine, si vous pouvez échanger contre et améliorer quelqu'un sans blesser personne, vous n'étiez pas à l'optimum de Pareto, et si vous ne pouvez pas échanger contre pour faire quelqu'un de mieux, vous ne pouvez pas augmenter l'utilité agrégée sommée ... "ou vous ne pouvez pas faire le commerce, car cela violerait une contrainte de non-négativité. Boo, escroc! : D Rendez les 50 points: D

m

$m$

x

$x$

m

$m$

x

$x$

Giskard

@denesp Je conviens que le résultat est valable si nous permettons à d'être n'importe quel nombre réel, ou seulement un nombre réel strictement positif, pour tout .

m_{i}

$m_i$

i

$i$

Amit le

Je ne pense pas que ce soit vrai dans une économie de change pure standard à laquelle la question fait référence. Considérez le contre-exemple suivant: Supposons

$I = \{1,2\}$ et et . $u_1(x_1, m_1) = \sqrt{x_1} + m_1$ $u_2(x_2, m_2) = \sqrt{x_2} + m_2$

et laisser l'ensemble des allocations possibles être

$\{((x_1, m_1), (x_2, m_2))\in\mathbb{R}^2_+\times\mathbb{R}^2_+: x_1+x_2 = 2, m_1+m_2 = 2 \}$ .

Notez que l'allocation est efficace pour Pareto, mais ne maximise pas la somme des utilitaires. La raison en est que l'allocation donne la somme la plus élevée. $a_1 = ((x_1, m_1), (x_2, m_2)) = ((2,2),(0,0))$ $a_2 = ((1,1),(1,1))$

$u_1(2,2) + u_2(0,0) = \sqrt{2} + 2 < 2 + 2 = u_1(1,1) + u_2(1,1)$ .

Amit
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@ DornerA vos réflexions à ce sujet?

Giskard

Je pense que vous faites référence au résultat suivant: Toute allocation PE maximise , mais il est difficile de le savoir précisément car vous n'êtes pas spécifique faisabilité. $\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i})$

Permettez-moi d'être plus précis. Pour chaque , . Une allocation est . L'ensemble des allocations possibles est . L'utilité de partir d' est , où augmente strictement. $i\in\{1,\ldots,I\}$ $(x_{i},m_{i})\in\mathbb{R}_{+}\times\mathbb{R}$ $a=(x_{i},m_{i})_{i=1}^{I}$ $F=\{(x_{i},m_{i})_{i=1}^{I}|(x_{i},m_{i})\in\mathbb{R}_{+}\times\mathbb{R}\forall i\in\{1,\ldots,I\},\sum_{i=1}^{I}x_{i}\leq c_{x},\sum_{i=1}^{I}m_{i}\leq c_{m}\}$ $i\in\{1,\ldots,I\}$ $a\in F$ $u_{i}(a)=m_{i}+\phi_{i}(x_{i})$ $\phi_{i}$

La définition de l'allocation PE est standard: est PE si tel que pour tout et pour certains . $a\in F$ $\nexists a'\in F$ $u_{i}(a')\geq u_{i}(a)$ $i$ $u_{i}(a')>u_{i}(a)$ $i$

Maintenant, je prétends que si est PE, alors est une solution à , ou, faisant la maximisation par rapport à s explicite, st . $a$ $a$ $\displaystyle\max_{a\in F}\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i})$ $x_{i}$ $\displaystyle\max_{(x_{i})_{i=1}^{I}\in\mathbb{R}_{+}^{I}}\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i})$ $\sum_{i=1}^{I}x_{i}\leq c_{x}$

Je ne vais pas prouver la prétention ici, mais l'idée clé est simple et est la suivante. Supposons est PE mais ne résout pas le problème de maximisation. Ensuite, nous pouvons trouver un autre réalisable tel que . Certes, dans , par rapport à , les agents sont moins bien lotis, mais nous pouvons utiliser de l'argent, s, pour les rendre aussi bien que sous , et rester encore avec un peu d'argent puisque nous avons augmenté la somme d'utilité provenant de s. $a^{*}$ $a'$ $\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i}')>\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i}^{*})$ $a'$ $a^{*}$ $m_{i}$ $a^{*}$ $x_{i}$

Une autre façon de le dire est que la somme de l'utilité d' est . Désormais, toute allocation non gaspilleuse aura le premier terme identique. $a\in F$ $\sum_{i=1}^{I}m_{i}+\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i})$ $a\in F$

Une autre façon de penser à ce sujet est que les s déterminent la taille du gâteau et l'argent, s, déterminent la redistribution. Par quasi-linéarité, la diminution de d'une unité et l'augmentation de d'une unité laisse inchangées . Ce n'est pas vrai pour et . $x_{i}$ $m_{i}$ $m_{i}$ $m_{j}$ $m_{i}+m_{j}$ $x_{i}$ $x_{j}$

Cela implique également que tout qui résout le problème de maximisation est PE. $a\in F$

Jan
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Avez-vous lu les deux autres réponses? On dit essentiellement la même chose. L'autre fournit un contre-exemple.

Giskard

@denesp Oui, j'ai lu les réponses et je dis autre chose. Les deux réponses parlent de maximisation de la somme des utilitaires, je parle de maximisation de la somme des s. Dans le contre-exemple, l'hypothèse critique est que . Si pour , alors ce que je dis s'applique. Quelle hypothèse est «standard» est discutable. J'ai été élevé par MWG.

x_{i}

$x_{i}$

m_{i} \geq 0

$m_{i}\geq0$

\forall i \in {1, 2}

$\forall i\in\{1,2\}$

m_{i} \in R

$m_{i}\in\mathbb{R}$

i \in {1, 2}

$i\in\{1,2\}$

Jan

Un autre commentaire, Mas-Colell, Whinston, Green chapitre 10, en particulier les parties C et encore plus particulièrement la partie D, sont un bon traitement manuel de la question posée par OP.

Jan