La complexité des hamiltoniens à lois régionales

J'ai récemment pensé à "importer" une question liée à la physique dans Quantum CS:

La notion de phénomène de loi d'aire dans les systèmes hamiltoniens représente généralement un hamiltonien local sur un réseau, dont l'état fondamental présente une propriété dans laquelle l'intrication de toute région fermée est proportionnelle à la surface de la région, et non à son volume (comme il le ferait pour un état général). Une conjecture célèbre est de savoir si tous les hamiltoniens à écart constant présentent cette propriété de loi de surface. Pour les systèmes unidimensionnels, cette question a reçu une réponse positive de Hastings (arXiv: 0705.2024).

Pourtant, le lien entre de tels systèmes et la théorie de la complexité est très vague: alors que le résultat de Hastings implique que les systèmes respectueux des lois de zone 1D peuvent être simulés de façon classique, pour les systèmes généraux, cela est inconnu. Ma question est donc la suivante: la quête pour résoudre la conjecture de la loi de zone vaut-elle la peine? Autrement dit, peut-on trouver un hamiltonien local complet de l'AMQ qui respecte également les lois de la région. Un petit coup d'œil sur les hamiltoniens locaux connus complets de l'AMQ, qui sont essentiellement tous basés sur le théorème quantique de Cook-Levin de Kitaev, montre que ces hamiltoniens n'ont pas la propriété de loi de zone.

On pourrait considérer l'exemple légèrement idiot suivant d'un système 2D qui obéit à une loi de zone qui est QMA-complète. Prenez un système 2d, dont une ligne est égale à l'un des hamiltoniens 1d complets QMA connus (voir Aharonov, Gottesman, Irani, Kempe), et toutes les autres lignes sont dans un état de produit. Ensuite, cela obéit à une loi de surface (pensez à dessiner un rectangle qui inclut la ligne donnée, avec k lignes et l colonnes; l'intrication est limitée par un temps constant l et la zone est également au moins égale à l).

Cependant, cela, à mon avis, ne signifie certainement pas que prouver une loi de zone en 2D serait inutile du point de vue de la complexité. Je pense plutôt que cela signifie que nous devons considérer non seulement la loi de surface pour l'entropie d'enchevêtrement, mais aussi d'autres propriétés d'enchevêtrement. Une telle propriété serait d'avoir un PEPS de dimension de liaison polynomiale. En fait, prouver qu'il existe une loi de surface en 2d n'implique pas d'avoir un PEPS de dimension de liaison polynomiale. L'implication dans 1d repose sur le fait que nous pouvons couper le système à travers différentes liaisons, tronquer à un rang de Schmidt polynomial à travers chaque liaison et limiter l'erreur. Cette procédure ne fonctionne pas en 2D. Ainsi, prouver l'existence d'un PEPS pour un système à lacunes dans 2d serait une prochaine étape. Mon sentiment est que prouver une loi de zone en 2D serait une bonne première étape pour le faire.

En fait, il est bien étudié en physique de la matière condensée qu'il existe des hamiltoniens sans espace 2d qui obéissent à une loi de zone. Alors qu'en 1d, les systèmes décrits par la théorie des champs conformes ont un comportement logarithmique de l'entropie d'enchevêtrement, en 2d, de nombreux systèmes critiques montrent une loi de surface, puis les journaux apparaissent en comportement de sous-reliure, donc l'entropie est égale à L + const * log (L) + ... Autrement dit, les termes universels intéressants dans l'entropie ne sont pas les termes principaux, mais les sous-traits, dans de telles théories 2D.

Merci pour la réponse détaillée et perspicace, et pour avoir accentué la distinction entre la loi de zone et la dimension de liaison polynomiale.