Comment trouver des problèmes de recherche intéressants

Malgré plusieurs années de cours, je ne suis toujours pas au bon endroit pour choisir un sujet de recherche. J'ai examiné des papiers de différents domaines et parlé avec des professeurs, et je commence à penser que c'est une mauvaise approche.

J'ai lu qu'il était utile de trouver un problème intéressant (tant pis pour la région) et ensuite d'y travailler. Les manuels mentionnent des problèmes non résolus mais je ne voudrais pas les aborder directement. Les articles de recherche ne mentionnent que des résultats positifs et non des tentatives infructueuses.

Comment trouver des problèmes de recherche intéressants? Comment trouvez-vous des problèmes de recherche intéressants? Y a-t-il une liste quelque part?

Comment décidez-vous s'il vaut la peine de travailler sur un problème particulier?

Je suis fortement en désaccord avec l'approche "trouver une liste de problèmes en suspens". Il est généralement difficile de progresser sur les problèmes en suspens et je ne suis absolument pas convaincu que de bonnes recherches soient effectuées en s'attaquant à un problème difficile mais sans intérêt dans un domaine technique.

Cela dit, bien sûr, résoudre un problème ouvert est vraiment bon pour les diplômes universitaires. Mais ce n'est pas ce que vous demandez.

La recherche est un processus conçu pour générer une compréhension à un niveau élevé. La résolution de problèmes techniques est un moyen d'y parvenir: souvent, le problème et sa solution éclairent la structure ou le comportement de certains phénomènes scientifiques (structure mathématique, pratique du langage de programmation, etc.).

Donc, ma première suggestion est la suivante: trouvez un problème que vous voulez comprendre. La recherche concerne fondamentalement la confusion. Y a-t-il des sujets spécifiques qui vous intéressent, mais que vous estimez avoir une compréhension fondamentalement incomplète ou qui semblent techniquement claires, mais pour lesquels vous n’avez pas une bonne intuition? Ce sont de bons points de départ. Suivez les conseils de Terry Tao, posez-vous des questions idiotes! Beaucoup de bonnes recherches découlent de ces considérations. En fait, toute cette page contient beaucoup de bons conseils. Notez que si vous examinez un problème ou un domaine bien exploré, il est peu probable que vous obteniez immédiatement des informations originales. Il est donc important de lire la littérature en même temps que vos propres explorations.

Deuxièmement, ne négligez pas la communication avec vos professeurs. Interrogez-les sur leurs propres recherches, pas nécessairement sur les projets qu’ils souhaitent vous soumettre. Engagez-vous dans une conversation! Cela vous aide à découvrir ce qui vous intéresse, mais aussi à quoi ressemble le paysage de la recherche dans leur domaine. La recherche ne se fait pas en vase clos, vous devriez donc parler à vos camarades, aux docteurs en doctorat de votre département, assister à des conférences et à des ateliers dans votre université, etc. Vous constaterez que l'immersion dans un environnement de recherche vous aide à Beaucoup plus que de trouver une liste ou un problème spécifique et de vous enfermer dans votre bureau.

Enfin, je suggérerais de travailler sur quelque chose de petit . La recherche est beaucoup plus ascendante que descendante, et il est rare qu'une tâche très simple (rédaction d'une épreuve ou d'un programme) s'avère aussi simple que prévu. Faire plusieurs petits projets qui ne sont pas à l’échelle de la recherche (élargir les devoirs, rédiger une explication de quelque chose que vous avez apprise) aboutit souvent à de véritables travaux de recherche. Il est courant d'essayer de «devenir gros» au début, mais ce n'est que maintenant que notre cerveau fonctionne.

David Hilbert est un mathématicien renommé. Il a présenté une liste de 23 problèmes non résolus lors du Congrès international des mathématiciens de Paris en 1900.
Je voudrais citer une partie de l' interview de Yuri Manin intitulée "Les bonnes preuves sont des preuves qui nous rendent plus sage" à propos de Hilbert et de sa liste:

Le Congrès international de cette année est le dernier CIM de ce siècle. Pensez-vous qu'un Hilbert est encore possible? Existe-t-il des problèmes contemporains correspondant aux problèmes de Hilbert?
Je ne crois pas réellement que la liste de Hilbert ait eu un grand rôle dans les mathématiques de ce siècle. C'était certainement psychologiquement important pour beaucoup de mathématiciens. Par exemple, Arnold a raconté que, tout en étant un jeune étudiant diplômé, il avait copié la liste des problèmes de Hilbert dans son cahier et l'avait toujours conservée. Mais quand Gelfand a appris cela, il s'est en fait moqué d'Arnold à ce sujet. Arnold considérait la résolution de problèmes comme une partie essentielle de grandes réalisations mathématiques. Pour moi c'est différent. Je considère le processus de création mathématique comme une sorte de reconnaissance d’un motif préexistant. Lorsque vous étudiez quelque chose - topologie, probabilité, théorie des nombres, peu importe - vous acquérez d’abord une vision générale du vaste territoire, puis vous vous concentrez sur une partie de celui-ci. Plus tard, vous essayez de reconnaître "qu'est-ce qu'il y a?" Et "qu'est-ce qui a déjà été vu par d'autres personnes?".
L’accent mis sur la résolution de problèmes est-il une sorte de vision romantique: un grand héros qui conquiert la montagne?
Oui, en quelque sorte, une sorte de vision sportive. Je ne dis pas que ce n'est pas pertinent. Il est très important pour les jeunes, en tant que dispositif psychologique, d’attirer les jeunes afin de créer une reconnaissance sociale pour les grandes réalisations. Un bon problème est l'incarnation d'une vision d'un grand esprit mathématique, qui ne pouvait pas voir les chemins menant à une certaine hauteur mais qui reconnaissait qu'il y avait une montagne. Mais ce n'est pas un moyen de voir les mathématiques, ni le moyen de présenter les mathématiques au grand public. Et ce n'est pas l'essence. Surtout lorsque de tels problèmes sont mis sur la liste, cela ressemble à une liste des capitales des grands pays du monde: elle transmet le minimum d’informations possibles. Je ne crois pas vraiment que Hilbert pensait que c'était la manière d'organiser les mathématiques.

il s’agit en définitive d’une question subjective et personnelle et, "à long terme", quels problèmes jugés importants revêtent un certain intérêt scientifique, mais il peut exister des directives générales approximatives avec lesquelles beaucoup seraient d’accord, ainsi que de grands experts. examiné la question. les problèmes sont assez omniprésents et il s’agit plutôt de les réduire.

• N ° 1 sur la liste est presque toujours, parlez-en à votre conseiller! cela fait partie de leur travail et s'il / elle ne vient pas avec des idées que peut-être que ce n'est pas un bon signe et considèrent que vous pourriez en bénéficier ou en avoir besoin d'une autre.

• sur quoi travaillent beaucoup de personnes dans votre université? chaque université a généralement des spécialisations particulières et il y aura un enthousiasme ou même de l'enthousiasme pour des domaines / problèmes particuliers.

• regardez les récompenses sur le terrain pour voir quels domaines ils étudient, ou les prix. en TCS son prix de Turing , prix Godel , Nevanlinna prix , prix du millénaire . Évidemment, il s’agit de travaux de très haute qualité / de pointe, mais, par nature, ils englobent tous de vastes zones où il existe un travail supplémentaire.

• Les blogs de TCS sont une excellente source d’information sur l’intérêt de la communauté pour divers problèmes.

pour répondre à cette question également, il peut être judicieux de "revenir aux sources" dans le sens suivant. Hilbert, le mathématicien, est l’un des maîtres légendaires parmi les plus expérimentés dans le domaine. Plusieurs de ses idées fondamentales sur la sélection des problèmes s’appliquent et méritent d’être examinées / étudiées. La plupart de ses problèmes ouverts qui ont conduit les maths au tournant du XXe siècle ont eu des liens étonnants / profonds avec la théorie algorithmique, par exemple l’indécidabilité, par exemple le thm de Godel, le problème de Halting et le dixième problème crucial . Ses opinions sont résumées par Lagarias, à la section 9, dans son évaluation de la conjecture de Collatz en tant que "bon problème":

Il est difficile et souvent impossible de juger correctement de la valeur d'un problème à l'avance. pour l'attribution finale dépend du gain que la science obtient du problème. Néanmoins, nous pouvons nous demander s’il existe des critères généraux qui jalonnent un bon problème mathématique. Un vieux mathématicien français a déclaré: «Une théorie mathématique ne doit pas être considérée comme achevée tant que vous n'avez pas expliqué si clairement que vous pouvez l'expliquer au premier homme que vous rencontrez dans la rue.» Cette clarté et cette facilité de compréhension, a insisté ici. pour une théorie mathématique, je devrais demander encore plus un problème mathématique pour qu'il soit parfait; car ce qui est clair et facile à comprendre attire, le compliqué nous repousse. De plus un problème mathématique devrait être difficile pour nous attirer, mais pas complètement inaccessible, de peur qu'il se moque de nos efforts. Cela devrait être pour nous un guide sur les chemins mazy des vérités cachées, et en fin de compte un rappel de notre plaisir à trouver une solution.

Lagarias résume ces éléments comme suit:

1. Le problème est-il clair et simplement énoncé?
2. Est-ce un problème difficile?
3. Cela vous semble-t-il accessible et "ne vous moquez pas de nos efforts pour le résoudre"?

Malheureusement, de nombreux problèmes en suspens échouent au n ° 3, mais comme mentionné précédemment, il existe toujours des problèmes à proximité et des relaxations considérées comme plus accessibles. Même la simple formulation de ces relaxations peut être considérée comme faisant partie d'une recherche valide.