Distance entre les langues régulières

Je veux définir une notion de "proximité" entre deux langages réguliers de mots finis dans (et / ou des mots infinis dans ). L'idée de base est que nous voulons que deux langues soient proches si elles ne diffèrent pas par beaucoup de mots. Nous pourrions également utiliser la distance d'édition d'une manière ou d'une autre ... Je n'ai pas pu trouver de bonnes références sur ce problème.Σ $\Sigma^*$$\Sigma^\omega$

Je n'appelle pas cela une distance parce que je n'exige pas que tous les axiomes de distance soient vrais (bien que ce ne soit pas mauvais s'ils le sont).

Une première tentative consiste à définir où et sont les restrictions de et à , et est la différence symétrique.

$$d(L,K)= \limsup_{n\to\infty} \frac{|L_n\Delta K_n|}{|L_n\cup K_n|}$$ $L_n$$K_n$$L$$K$$\Sigma^n$$\Delta$

Cette "distance" est-elle étudiée? Existe-t-il des références sur le sujet (éventuellement avec des choix alternatifs pour la fonction de distance)? Toute aide ou pointeur serait apprécié, merci.

Comme vous le savez peut-être déjà, une métrique commune sur les mots est la métrique Cantor, qui est définie comme:

$$d(l, k) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \mbox{if } l = k \\ 2^{-n} & \mbox{where } n = \min\{i\in\mathbb{N} \;|\;l_i \not=k_i\} \end{array} \right.$$

En gros, si une chaîne est une séquence d'événements, la distance entre deux chaînes est , où est la première fois qu'elles diffèrent. Cela peut être transformé en une métrique sur les langues (non vides) en utilisant la métrique Hausdorff. (Si vous autorisez des chaînes infinies, vous devez également vous assurer que les langues sont complètes à Cauchy.) $2^{-n}$$n$

Cette métrique apparaît beaucoup dans la vérification. La première référence à cela que je connais est Alpern et Schneider 1985, Defining Liveness . (Désolé pour l'absence de lien, mais je n'ai pas trouvé de copie en ligne.)

Jean-Eric Pin a écrit un article d'enquête, Profinite Methods in Automata Theory , dans lequel il étudie des mesures plus générales, et établit également des liens avec la dualité de Stone.