L'entropie d'une convolution sur l'hypercube

Supposons que nous ayons une fonction $f:\mathbb{Z}_2^n \to \mathbb{R}$ , telle que $\sum _{x\in \mathbb{Z}_2^n} f(x)^2 = 1$ (nous pouvons donc penser à $\{ f(x)^2\} _{x\in \mathbb{Z}_2^n}$ comme une distribution) . Il est naturel de définir l'entropie d'une telle fonction comme suit:

H (f) = - \sum_{x \in Z_{2}^{n}} f (x)^{2} \log (f (x)^{2}) .

$H(f) = -\sum _{x \in \mathbb{Z}_2^n} f(x)^2 \log \left( f(x)^2 \right) .$

Maintenant, considérons la convolution de $f$ avec elle-même:

[f * f] (x) = \sum_{y \in Z_{2}^{n}} f (y) f (x + y) .

$[ f*f] (x) = \sum_{y \in \mathbb{Z}_2^n}f(y)f(x+y) .$ (Notez que puisque nous avons affaire à

Z_{2}^{n}

$\mathbb{Z}_2^n$ , alors

x + y = x - y

$x+y=x-y$ )

$f*f$ $L_2$ $f$ $C$

H (\frac{f * f}{‖ f * f ‖_{2}}) \leq C \cdot H (f)

$H \left( \frac{f*f}{\|f*f\|_2} \right) \le C \cdot H(f)$

Cette question a été publiée sur mathoverflow le 1er août: mathoverflow.net/questions/103668/… (il est généralement correct de transposer avec un retard comme celui-ci, mais vous devez dire ce que vous faites).

Colin McQuillan

Désolé, je n'étais pas au courant de cette politique.

L'inégalité de puissance d'entropie pourrait vous être utile: en.wikipedia.org/wiki/Entropy_power_inequality

Ou Meir

Réponses:

Il n'y a pas . Définissez par $C$ $g\colon\mathbb{Z}_2^n\to\mathbb{R}$

g (x_{1}, \dots, x_{n}) = {\begin{cases} 2^{2 n / 3} & if x_{1} = \dots = x_{n} = 0 \\ 1 & otherwise. \end{cases}

$g(x_1,\dots,x_n)=\begin{cases} 2^{2n/3}&\text{ if $x_1=\dots=x_n=0$}\\ 1&\text{ otherwise.}\end{cases}$

Alors satisfait $g*g$

(g * g) (x_{1}, \dots, x_{n}) = {\begin{cases} 2^{4 n / 3} + 2^{n} - 1 & if x_{1} = \dots = x_{n} = 0 \\ 2^{2 n / 3} \cdot 2 + 2^{n} - 2 & otherwise. \end{cases}

$(g*g)(x_1,\dots,x_n)=\begin{cases} 2^{4n/3}+2^n-1&\text{ if $x_1=\dots=x_n=0$}\\ 2^{2n/3}\cdot 2+2^n-2&\text{ otherwise.}\end{cases}$

Soit . Alors est (en fait, il est exponentiellement petit en ), tandis que est d'environ . $f=g/\|g\|_2$ $H(f)=H(g/\|g\|_2)$ $o(1)$ $n$ $H(g*g/\|g*g\|_2)$ $n$

Colin McQuillan
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