Y a-t-il un lien entre la norme du diamant et la distance des états associés?

Dans la théorie de l'information quantique, la distance entre deux canaux quantiques est souvent mesurée en utilisant la norme du diamant. Il existe également un certain nombre de façons de mesurer la distance entre deux états quantiques, comme la distance de trace, la fidélité, etc. L' isomorphisme de Jamiołkowski fournit une dualité entre les canaux quantiques et les états quantiques.

C'est intéressant, du moins pour moi, car la norme du diamant est notoirement difficile à calculer, et l'isomorphisme de Jamiołkowski semble impliquer une certaine corrélation entre les mesures de distance des canaux quantiques et les états quantiques. Donc, ma question est la suivante: existe-t-il une relation connue entre la distance dans la norme du diamant et la distance entre les états associés (dans une certaine mesure)?

quantum-computing it.information-theory quantum-information Joe Fitzsimons
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Je ne sais pas trop ce que vous entendez par «la norme du diamant est notoirement difficile à calculer». comme programme semi-défini; voir la section 20.4 de la note de conférence de John Watrous . En ce sens, la norme du diamant a un moyen efficace de calculer.

Tsuyoshi Ito

@Tsuyoshi: Je faisais juste référence à l'optimisation implicite. Je ne voulais pas dire que les calculs étaient difficiles, mais plutôt difficiles à travailler.

Joe Fitzsimons

Ce sont de très belles notes de cours, en aparté.

Suresh Venkat

@Suresh @Tsuyoshi: Oui, ce sont de bonnes notes, mais je ne pense pas qu'ils répondent à cette question particulière.

Joe Fitzsimons

@TsuyoshiIto: pour une raison quelconque, la dernière section des diapositives QIP est 20.3, avez-vous un ensemble de conférences plus complet?

Artem Oboturov

Réponses:

Pour un canal quantique , écrivons pour désigner l'état associé: $\Phi$ $J(\Phi)$ Ici, nous supposons que le canal mappe(c'est-à-dire,matrices complexes) àpour tout choix d'entiers positifsetvous aimez. La matrice

J (Φ) = \frac{1}{n} \sum_{1 \leq i, j \leq n} Φ (| i ⟩ ⟨ j |) \otimes | i ⟩ ⟨ j | .

$J(\Phi) = \frac{1}{n} \sum_{1\leq i,j \leq n} \Phi(|i \rangle \langle j|) \otimes |i \rangle \langle j|.$

M_{n} (C)

$M_n(\mathbb{C})$

n \times n

$n\times n$

M_{m} (C)

$M_m(\mathbb{C})$

n

$n$

m

$m$

J (Φ)

$J(\Phi)$ est parfois appelée la matrice de Choi ou la représentation de Choi-Jamiolkowski de

, mais il est plus fréquent que ces termes soient utilisés lorsque le

Φ

$\Phi$

normalisation est omise.

\frac{1}{n}

$\frac{1}{n}$

$\Phi_0$ $\Phi_1$

‖ Φ_{0} - Φ_{1} ‖_{◊} = sup_{ρ} ‖ (Φ_{0} \otimes {Id}_{k}) (ρ) - (Φ_{1} \otimes {Id}_{k}) (ρ) ‖_{1}

$\| \Phi_0 - \Phi_1 \|_{\Diamond} = \sup_{\rho} \: \| (\Phi_0 \otimes \operatorname{Id}_k)(\rho) - (\Phi_1 \otimes \operatorname{Id}_k)(\rho) \|_1$

{Id}_{k}

$\operatorname{Id}_k$

M_{k} (C)

$M_k(\mathbb{C})$

‖ \cdot ‖_{1}

$\| \cdot \|_1$

k \geq 1

$k \geq 1$

ρ

$\rho$

M_{n k} (C) = M_{n} (C) \otimes M_{k} (C)

$M_{nk}(\mathbb{C}) = M_n(\mathbb{C}) \otimes M_{k}(\mathbb{C})$

k \leq n

$k\leq n$

ρ

$\rho$

(Notez que la définition ci-dessus ne fonctionne pas pour les mappages arbitraires, uniquement ceux de la forme pour les cartes complètement positives et . Pour les mappings généraux, le supremum est repris sur toutes les matrices avec la norme de trace 1, par opposition aux matrices de densité uniquement.) $\Phi = \Phi_0 - \Phi_1$ $\Phi_0$ $\Phi_1$

Si vous n'avez pas d'hypothèses supplémentaires sur les canaux, vous ne pouvez pas en dire trop sur la façon dont ces normes se rapportent en dehors de ces limites grossières: Pour la seconde inégalité, on se contente essentiellement du choix spécifique plutôt que de prendre le dessus sur tout

\frac{1}{n} ‖ Φ_{0} - Φ_{1} ‖_{◊} \leq ‖ J (Φ_{0}) - J (Φ_{1}) ‖_{1} \leq ‖ Φ_{0} - Φ_{1} ‖_{◊} .

$\frac{1}{n} \| \Phi_0 - \Phi_1 \|_{\Diamond} \leq \| J(\Phi_0) - J(\Phi_1) \|_1 \leq \| \Phi_0 - \Phi_1 \|_{\Diamond}.$

ρ = \frac{1}{n} \sum_{1 \leq i, j \leq n} | i ⟩ ⟨ j | \otimes | i ⟩ ⟨ j |

$\rho = \frac{1}{n} \sum_{1\leq i,j \leq n} |i \rangle \langle j| \otimes |i \rangle \langle j|$

ρ

$\rho$ . La première inégalité est une offre plus difficile, mais ce serait une question d'affectation raisonnable pour un cours d'études supérieures sur l'information quantique. (À ce stade, je dois vous remercier pour votre question, car j'ai bien l'intention d'utiliser cette question dans l'offre d'automne de mon cours de théorie de l'information quantique.)

Vous pouvez obtenir l'une ou l'autre inégalité pour un choix approprié de canaux et , même sous l'hypothèse supplémentaire que les canaux sont parfaitement distinguables (ce qui signifie ). $\Phi_0$ $\Phi_1$ $\| \Phi_0 - \Phi_1 \|_{\Diamond} = 2$

John Watrous
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Merci John, cela répond parfaitement à ma question et m'a fait gagner beaucoup de temps.

Joe Fitzsimons

Vous pouvez également examiner les mesures de distance pour comparer les processus quantiques réels et idéaux arXiv: quant-ph / 0408063 qui donne un aperçu des mesures de distance pour les canaux quantiques et leurs relations.

Ils utilisent le terme distance S pour la distance du diamant et distance J pour la distance de trace des opérateurs de Jamiołkowski associés aux canaux.

Antonio Valerio Miceli-Barone
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J'aime penser à la première inégalité que Watrous a écrite en termes de téléportation de canal probabiliste. Si vous interprétez la norme diamant comme une mesure de la plus petite probabilité d'erreur dans les canaux discriminants et , et la norme trace comme l'équivalent pour leurs états Jamiolkowski, vous pouvez toujours implémenter la stratégie optimale pour les canaux à partir de leurs états correspondants avec probabilité de réussite. Mettre cela rigoureusement peut être un moyen de prouver l'inégalité. $\Phi_0$ $\Phi_1$ $\frac{1}n$

De plus, cette façon de penser montre que si les canaux peuvent être téléportés de manière déterministe (comme les canaux Pauli), alors leur norme de diamant est égale à la distance de trace de Jamiolkowski.

Alex Monras
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